析磁場

以 Biot-Savart 律、安培律、磁偶極近算繪電流分布所生之磁場。描源之幾何、擇宜律（任幾何用 Biot-Savart、高對稱用安培）、算場積、察極限、納磁材之影、繪所得之線拓。

用時

• 算任載流導（環、螺、不規）之 B 場乃用
• 用柱、面、環對稱以直施安培律乃用
• 以磁偶極近估遠場乃用
• 疊多源之場乃用
• 析磁材：線性磁導、B-H 線、磁滯、飽和乃用

入

• 必要：流分布之規（幾何、流幅與向）
• 必要：場所需之區（觀點或體）
• 可選：材屬（相磁導、B-H 線數、矯頑、剩磁）
• 可選：所求準（精積、多極展開階、數值解）
• 可選：視之求（二維切、三維線、幅等值圖）

法

第一步：描流分布與幾何

擇法前全規源：

1. 流徑：述諸載流元之幾何。線流以參曲線 r'(t) 規。面流以面流密 K（A/m）規。體流以 J（A/m^2）規。
2. 坐標：擇與主對稱齊之坐標。線與螺用柱（rho, phi, z）。偶極與遠環用球（r, theta, phi）。面片用卡氏。
3. 對稱析：識平移、旋、反射對稱。源之對稱即場之對稱。書 B 由對稱何分非零、何分零。
4. 流連續：驗分布合 div(J) = 0（穩態）或 div(J) = -d(rho)/dt（時變）。不一之流分布生非物理之場。

## Source Characterization
- **Current type**: [line I / surface K / volume J]
- **Geometry**: [parametric description]
- **Coordinate system**: [and justification]
- **Symmetries**: [translational / rotational / reflection]
- **Nonzero B-components by symmetry**: [list]
- **Current continuity**: [verified / issue noted]

得： 流分布之全幾何述附坐標擇、對稱錄、流連續驗。

敗則： 若幾何繁不可閉式參述，離散為短直段（數值 Biot-Savart）。若流連續違，加位移流或返荷積項而進。

第二步：擇宜律

擇合題對稱與繁之法：

1. 安培律（高對稱）：源有足對稱使 B 可出線積時用。適用：

   • 無限直線（柱對稱）→ 圓安培環
   • 無限螺（平移+旋）→ 矩形安培環
   • 環形（繞環軸旋）→ 圓安培環
   • 無限面流（二向平移）→ 矩形環

2. Biot-Savart 律（通）：任幾何安培不可簡者用：

   • dB = (mu_0 / 4 pi) * (I dl' x r_hat) / r^2
   • 體流：B(r) = (mu_0 / 4 pi) * 積 (J(r') x r_hat) / r^2 dV'

3. 磁偶極近（遠場）：觀點遠於源（r >> 源維 d）時用：

   • 算磁偶極矩：m = I * A * n_hat（面環面積 A）
   • B_dipole(r) = (mu_0 / 4 pi) * [3(m . r_hat) r_hat - m] / r^3
   • r/d > 5 時約 1% 準

4. 疊加：多源則各算 B 且矢和。Maxwell 方程之線性保此精。

## Method Selection
- **Primary method**: [Ampere / Biot-Savart / dipole]
- **Justification**: [symmetry argument or distance criterion]
- **Expected complexity**: [closed-form / single integral / numerical]
- **Fallback method**: [if primary fails or for cross-validation]

得： 有由之法擇，明所擇律何以合題對稱。

敗則： 若擇安培而對稱不足（B 不可出積），退 Biot-Savart。若幾何繁不可解析 Biot-Savart，數值離散。

第三步：立且算場積

以第二步擇之法行算：

1. 安培律路：每安培環：

   • 參路，算 B . dl 線積
   • 算封流 I_enc，計穿環之諸流
   • 解：contour_integral(B . dl) = mu_0 * I_enc
   • 以第一步對稱自積取 B

2. Biot-Savart 積：每場點 r：

   • 參源：dl' = (dr'/dt) dt 或體之 J(r')
   • 算位移：r - r' 與其 |r - r'|
   • 算叉：dl' x (r - r') 或 J x (r - r')
   • 積源（線、面、體）
   • 解析評：以對稱減維（如環軸場只一積）
   • 數值評：離散為 N 段，算和，倍 N 察收

3. 偶極算：

   • 算總磁矩：體流 m = (1/2) 積 (r' x J) dV'，或面環 m = I * A * n_hat
   • 每觀點施偶極場式
   • 估誤：下一多極（四極）校階 (d/r)^4

4. 疊加裝配：每觀點和諸源貢。分分獨記以保抵消精。

## Field Calculation
- **Integral setup**: [explicit expression]
- **Evaluation method**: [analytic / numeric with N segments]
- **Result**: B(r) = [expression with units]
- **Convergence check** (if numerical): [N vs. 2N comparison]

得： 觀點 B(r) 之明式附正單位（特斯拉或高斯）及數值之收察。

敗則： 若積發散，察缺正則（如無限薄線上場發散——用有限線徑）。若數值果隨 N 振，被積近奇，需自適應積或解析減奇部。

第四步：察極限

結果未信前對已知物理驗之：

1. 遠場偶極限：大 r 時任局流分布之場當合磁偶極式。自結果算 r → 無限時之 B 比於 (mu_0 / 4 pi) * [3(m . r_hat) r_hat - m] / r^3。

2. 近場無限線限：導之長直段附近（rho << L），場當趨 B = mu_0 I / (2 pi rho)。於幾何相關部察此。

3. 軸上特例：環與螺軸上之場有簡閉式：

   • 半徑 R 之單環，軸上距 z：B_z = mu_0 I R^2 / [2 (R^2 + z^2)^(3/2)]
   • 長 L 螺，每長 n 匝：B_interior = mu_0 n I（L >> R）

4. 對稱之一致：驗第一步對稱預零之分確於所算果為零。非零禁分示訛。

5. 量綱析：驗 B 有特斯拉之單位。每項當攜 mu_0 * [流] / [長] 或等。

## Limiting Case Verification
| Case | Condition | Expected | Computed | Match |
|------|-----------|----------|----------|-------|
| Far-field dipole | r >> d | mu_0 m / (4 pi r^3) scaling | [result] | [Yes/No] |
| Near-field wire | rho << L | mu_0 I / (2 pi rho) | [result] | [Yes/No] |
| On-axis formula | [geometry] | [known result] | [result] | [Yes/No] |
| Symmetry zeros | [component] | 0 | [result] | [Yes/No] |
| Units | -- | Tesla | [check] | [Yes/No] |

得： 諸極限皆合。場有正單位、對稱、漸近行。

敗則： 極限敗示積立或評之訛。最常：叉號誤、失 2 或 pi 之因、積限誤、源與場點參之坐標不合。

第五步：納磁材而視之

擴析以納材影而生場視：

1. 線磁材：於材內以 mu = mu_r * mu_0 代 mu_0。於材界施界條：

   • 法分：B1_n = B2_n（連）
   • 切分：H1_t - H2_t = K_free（面自由流）
   • 無面自由流：H1_t = H2_t

2. 非線材（B-H 線）：鐵磁核：

   • 用材 B-H 線於每點連 B 與 H
   • 設計之故，以分段線性近：線區（B = mu H）、拐區、飽區（B 近恆）
   • 操點循環則計磁滯：剩磁 B_r 與矯頑 H_c 定環

3. 退磁效：有限幾何磁材（短棒、球），內場以退磁因 N_d 減：H_internal = H_applied - N_d * M。

4. 場視：

   • 繪場線以流函或沿場向積 dB/ds
   • 繪幅等值（|B| 為色圖）
   • 二維切示流向（出頁為點、入頁為叉）
   • 驗場線成閉環（div B = 0）——開線示視或算之訛

5. 物理直觀察：確場式質相合。場當強於源附近、繞流（右手則）、隨距衰。

## Material Effects and Visualization
- **Material model**: [vacuum / linear mu_r / nonlinear B-H / hysteretic]
- **Boundary conditions applied**: [list interfaces]
- **Visualization**: [field lines / magnitude contour / both]
- **Div B = 0 check**: [field lines close / verified numerically]

得： 全場解含材影，視顯閉場線合 div B = 0 而質合物理直觀。

敗則： 若場線不閉，算有發散訛——再察積或數法。若材引非期場放大，驗 mu_r 只於材體施且界條於每界正強。

驗

• 流分布全規幾何、幅、向
• 流連續（穩態 div J = 0）已驗
• 坐標齊於主對稱
• 法擇（安培/Biot-Savart/偶極）由對稱析證
• 場積立以正叉與積限
• 數值果示收（N 對 2N 試）
• 遠場偶極限已驗
• 近場與軸上限合已知式
• 禁對稱分為零
• 通為特斯拉
• 材界條正施（若適）
• 場線成閉環（div B = 0）

陷

• 叉向誤：Biot-Savart 之叉為 dl' x r_hat（源至場），非 r_hat x dl'。反則場向全倒。以右手則速察
• 混 B 與 H：真空 B = mu_0 H，然磁材內 B = mu H。以 H 之安培律只用自由流；以 B 則含束（磁化）流。混約生 mu_r 因之訛
• 對稱不足而用安培：安培律恆真然只於對稱使 B 可出積時有用。若 B 沿安培環變，律給空變函之一標方程——欠定
• 忽「無限」線之有限長：實螺與線有端。無限線或無限螺式只於遠端（離端 >> 徑）有效。近端用全 Biot-Savart 或有限螺校
• 忽有限幾何之退磁：磁化之球或短棒與長棒於同施場不同內場。退磁因可減有效內場 30-100% 依縱橫比
• 非物理場線：若視示始終於空（非源非無限）之線，算或繪有訛。磁場線恆成閉環

參

• solve-electromagnetic-induction — 用所算 B 場析時變通量與感 EMF
• formulate-maxwell-equations — 擴至全 Maxwell 方程含位移流與波傳
• design-electromagnetic-device — 將磁場析施於電磁器、電機、變壓器之設
• formulate-quantum-problem — 磁互之量子處（Zeeman 效、自旋軌道耦）