建 Maxwell 方程組

以整合或微分形式析電磁之現象：陳相關 Maxwell 方程、施邊界條件與對稱以簡化系統、解所致之偏微分方程以得場、算 Poynting 向量、輻射壓與波阻抗等衍生量、驗解於已知之靜態與波之極限。

適用時機

• 於有源與材料介面之域解 E 場、B 場之邊界問題
• 自基本原理導出電磁波方程
• 計算能流（Poynting 向量）與電磁場之動量密度
• 於異質介面（介電質、導體、磁性材料）施邊界條件
• 析位移電流及其完成 Ampere-Maxwell 方程之作用
• 連靜態極限（Coulomb 定律、Biot-Savart）於統一之時變框架

輸入

• 必要：物理配置（幾何、源電荷與電流、材料性質）
• 必要：欲求之量（E 場、B 場、波解、能通量或邊界場值）
• 選擇性：對稱資訊（平面、柱面、球面或無特殊對稱）
• 選擇性：時間相依（靜態、頻 omega 諧振或一般時變）
• 選擇性：材料介面或導體面之邊界條件

步驟

步驟一：陳四方程並識相關子集

書全集，擇哪些方程約束本題：

1. E 之 Gauss 定律：div(E) = rho / epsilon_0（微分）或 closed_surface_integral(E . dA) = Q_enc / epsilon_0（整合）。關 E 場散度於電荷密度。用於具對稱之電荷分佈求 E。

2. B 之 Gauss 定律：div(B) = 0（微分）或 closed_surface_integral(B . dA) = 0（整合）。無磁單極。磁場線皆閉環。用為 B 場之一致性檢驗。

3. Faraday 定律：curl(E) = -dB/dt（微分）或 contour_integral(E . dl) = -d(Phi_B)/dt（整合）。變 B 場生旋 E 場。用於感應問題與波之導出。

4. Ampere-Maxwell 定律：curl(B) = mu_0 J + mu_0 epsilon_0 dE/dt（微分）或 contour_integral(B . dl) = mu_0 I_enc + mu_0 epsilon_0 d(Phi_E)/dt（整合）。電流與變 E 場生旋 B 場。位移電流項 mu_0 epsilon_0 dE/dt 對波傳播與電流連續性為要。

5. 擇形：局部場算、波方程與偏微分方程取微分形。高對稱問題可自整合直出場者，取整合形。

6. 識主動方程：非所有四方程於每題皆為獨立約束。靜電（dB/dt = 0、J = 0）僅 E 之 Gauss 定律與 curl(E) = 0 要。磁靜電則 B 之 Gauss 定律與 Ampere 定律（無位移電流）足矣。

## 本題之 Maxwell 方程
- **形**：[微分 / 整合 / 兼]
- **主動方程**：[列四者中哪些為非平凡約束]
- **源項**：rho = [電荷密度]、J = [電流密度]
- **時依**：[靜態 / 諧振 / 一般]
- **位移電流**：[可忽 / 要——附理由]

預期： 四方程陳出，相關子集附理由識出，位移電流或納入或明言其可忽。

失敗時： 若不明位移電流重否，估 |epsilon_0 dE/dt| / |J| 之比。若此比近一或大於一，則位移電流必留。真空無自由電荷時，位移電流於波傳播永為要。

步驟二：施邊界條件與對稱

用材料介面與幾何對稱簡化系統：

1. 材料介面之邊界條件：介質一與二之介面，有面電荷 sigma_f 與面電流 K_f：

   • 法向 E：epsilon_1 E_1n - epsilon_2 E_2n = sigma_f
   • 切向 E：E_1t = E_2t（連續）
   • 法向 B：B_1n = B_2n（連續）
   • 切向 H：n_hat x (H_1 - H_2) = K_f（n_hat 自二指一）

2. 導體邊界條件：完美導體面：

   • E_切向 = 0（導體內 E = 0）
   • B_法向 = 0（時變場導體內 B = 0）
   • 面電荷：sigma = epsilon_0 E_法向
   • 面電流：K = (1/mu_0) n_hat x B

3. 對稱簡化：用識出之對稱減獨立變量：

   • 平面對稱：場僅依一座標（如 z），偏微分方程簡為常微分方程
   • 柱面對稱：場依 (rho, z) 或僅 rho
   • 球面對稱：場僅依 r
   • 平移不變：於不變方向作 Fourier 轉換

4. 規範之擇（若用位能）：擇純量位 phi 與向量位 A 之規範：

   • Coulomb 規範：div(A) = 0（分離靜電與輻射貢獻）
   • Lorenz 規範：div(A) + mu_0 epsilon_0 d(phi)/dt = 0（明顯 Lorentz 協變，解耦波方程）

## 邊界條件與對稱
- **介面**：[列每側之介質性質]
- **所施邊界條件**：[法向 E、切向 E、法向 B、切向 H]
- **對稱**：[平面 / 柱面 / 球面 / 無]
- **簡化之座標**：[對稱簡化後之獨立變量]
- **規範**（若用位能）：[Coulomb / Lorenz / 他]

預期： 邊界條件於每介面盡陳，對稱已用以降維，題已可解偏微分方程。

失敗時： 邊界條件過定（一介面方程多於未知）時，核場分量數是否合於條件數。若欠定，則漏一邊界條件——常為切向 H 或無窮遠之輻射條件。

步驟三：解偏微分方程

為場量解 Maxwell 方程或其衍生形：

1. 波方程之導出：無源、線性、均勻介質中：

   • 取 Faraday 定律之 curl：curl(curl(E)) = -d/dt(curl(B))
   • 代 Ampere-Maxwell：curl(curl(E)) = -mu epsilon d^2E/dt^2
   • 用向量恆等式：curl(curl(E)) = grad(div(E)) - nabla^2(E)
   • 配 div(E) = 0（無自由電荷）：nabla^2(E) = mu epsilon d^2E/dt^2
   • 波速：v = 1/sqrt(mu epsilon)；真空中 c = 1/sqrt(mu_0 epsilon_0)
   • B 同方程

2. 平面波解：沿 z 方向傳播之波：

   • E(z, t) = E_0 exp[i(kz - omega t)]，k = omega/v = omega * sqrt(mu epsilon)
   • B = (1/v) k_hat x E（垂直於 E 及傳播方向）
   • |B| = |E|/v
   • 偏振：依 E_0 分量，線性、圓形或橢圓形

3. Laplace 與 Poisson 方程（靜態）：

   • 無時依：nabla^2(phi) = -rho/epsilon_0（Poisson）或 nabla^2(phi) = 0（Laplace）
   • 於合適座標系以變量分離法解之
   • 配邊界條件定展開係數

4. 導波與空腔：波導與共振腔：

   • 分解為 TE（橫電）與 TM（橫磁）模
   • 施導體壁邊界條件
   • 解特徵值問題得允許之傳播常數或共振頻率
   • 截止頻率：omega_c = v * pi * sqrt((m/a)^2 + (n/b)^2)，矩形導 a x b

5. 導體內之趨膚深度：時變場入電導率 sigma_c 之導體：

   • delta = sqrt(2 / (omega mu sigma_c))
   • 場依 exp(-z/delta) 於導體中衰減
   • 六十赫茲於銅：delta 約八點五毫米；一千兆赫：delta 約二微米

## 場之解
- **所解方程**：[波方程 / Laplace / Poisson / 特徵值]
- **解法**：[變量分離 / Fourier 轉換 / Green 函數 / 數值]
- **結果**：E(r, t) = [表達式]、B(r, t) = [表達式]
- **色散關係**：omega(k) = [若波解]
- **特徵尺度**：[波長、趨膚深度、衰減長度]

預期： 場之明確表達式滿足 Maxwell 方程與邊界條件，適用時附色散關係或特徵值譜。

失敗時： 若所擇座標系中偏微分方程不可分離，試他系或訴諸數值法（有限差分、有限元）。若回代後解不滿足某 Maxwell 方程，則導出有代數誤——重核 curl 與散度運算。

步驟四：算衍生量

從場之解提取物理意義之量：

1. Poynting 向量：S = (1/mu_0) E x B（瞬時能通量，W/m^2）：

   • 平面波：S = (1/mu_0) |E|^2 / v，沿傳播方向
   • 時均 Poynting 向量：諧振場 <S> = (1/2) Re(E x H*)
   • 強度：I = |<S>|（每單位面積之功率）

2. 電磁能密度：

   • u = (1/2)(epsilon_0 |E|^2 + |B|^2/mu_0)，真空
   • u = (1/2)(E . D + B . H)，線性介質
   • 能量守恆：du/dt + div(S) = -J . E（Poynting 定理）

3. 輻射壓：平面波入射於面：

   • 完美吸收：P_rad = I/c = <S>/c
   • 完美反射：P_rad = 2I/c = 2<S>/c
   • 此為電磁場之動量通量密度

4. 波阻抗：

   • 介質中：eta = sqrt(mu/epsilon) = mu * v
   • 真空中：eta_0 = sqrt(mu_0/epsilon_0) 約 377 歐姆
   • 關 E 與 H 之幅：|E| = eta |H|
   • 垂直入射之反射係數：r = (eta_2 - eta_1)/(eta_2 + eta_1)

5. 功率耗散與品質因數：

   • 每單位體積之歐姆損耗：p_loss = sigma |E|^2 / 2（導體中）
   • 空腔之品質因數：Q = omega * (儲能) / (每週期耗散功率)
   • 關共振之頻寬：Delta_omega = omega / Q

## 衍生量
- **Poynting 向量**：S = [表達式]、<S> = [時均]
- **能密度**：u = [表達式]
- **輻射壓**：P_rad = [值]
- **波阻抗**：eta = [值]
- **反射/透射**：r = [值]、t = [值]
- **Q 因數**（若共振）：Q = [值]

預期： 衍生量以正確單位算出，Poynting 定理驗能量守恆，量值合理。

失敗時： 若 Poynting 定理不平衡（du/dt + div(S) 不等 -J . E），則 E 與 B 之解不一致。重驗兩場同時滿足四 Maxwell 方程。常見之誤為以不互相一致之近似算 E 與 B。

步驟五：驗於已知極限

核全解於極限下正確簡化：

1. 靜態極限（omega -> 0）：解應簡為靜電或磁靜之結果：

   • E 場應滿足 Coulomb 定律或 Laplace/Poisson 方程
   • B 場應滿足 Biot-Savart 定律或 Ampere 定律（無位移電流）
   • 位移電流消：mu_0 epsilon_0 dE/dt -> 0

2. 平面波極限：無源、無界介質中，解應簡為平面波，v = 1/sqrt(mu epsilon)，偏振正確。

3. 完美導體極限（sigma -> 無窮）：

   • 趨膚深度 delta -> 0（場不透入）
   • 切向 E -> 0 於面
   • 反射係數 r -> -1（完美反射，相位反轉）

4. 真空極限（epsilon_r = 1、mu_r = 1）：材料相關之量應簡為真空值。波速應等 c。阻抗應等 eta_0 約 377 歐姆。

5. 能量守恆之檢：Poynting 定理於閉體積上積分。總場能變率加通過面流出之功率，應等體內電流所輸功率之負值。不平衡即示誤。

## 極限情形驗證
| 極限 | 條件 | 預期 | 所得 | 合 |
|-------|-----------|----------|----------|-------|
| 靜態 | omega -> 0 | Coulomb / Biot-Savart | [結果] | [是/否] |
| 平面波 | 無界介質 | v = c/n、eta = eta_0/n | [結果] | [是/否] |
| 完美導體 | sigma -> 無窮 | delta -> 0、r -> -1 | [結果] | [是/否] |
| 真空 | epsilon_r = mu_r = 1 | c、eta_0 | [結果] | [是/否] |
| 能量守恆 | Poynting 定理 | 平衡 | [檢] | [是/否] |

預期： 所有極限產生正確已知結果。能量守恆於數值精度內成立。

失敗時： 極限失敗乃誤之明證。靜態極限失敗示源項或邊界條件有問題。平面波極限失敗示波方程導出有誤。能量守恆失敗示 E 與 B 解不一致。追失敗至特定步驟改正之，乃納解。

驗證

• 四 Maxwell 方程皆陳，相關子集已識
• 位移電流已納或明言可忽之理由
• 邊界條件施於每材料介面
• 對稱已用以降偏微分方程之維度
• 波方程（或 Laplace/Poisson 方程）已正確導出
• 場之解回代後滿足四 Maxwell 方程
• Poynting 向量與能密度以正確單位算出（W/m^2 與 J/m^3）
• Poynting 定理（能量守恆）已驗
• 波阻抗與反射/透射係數值合理
• 靜態極限重現 Coulomb 定律與 Biot-Savart 定律
• 平面波極限得 v = 1/sqrt(mu epsilon) 且 E、B、k 正交
• 解足以令他研究者重現

常見陷阱

• 漏位移電流：原 Ampere 定律（curl B = mu_0 J）取散度得 div(J) = 0，與 rho 隨時變之電荷守恆矛盾。位移電流項 mu_0 epsilon_0 dE/dt 修此，對波傳播為要。未驗 dE/dt 相較 J/epsilon_0 可忽，勿棄之。
• E 與 B 解不一致：獨立解 E 與 B（如 E 自 Gauss 定律、B 自 Ampere 定律）而未驗 Faraday 定律與 B 之 Gauss 定律，可生相互不一致之場。必驗四方程。
• 邊界條件法向錯：約定 n_hat x (H_1 - H_2) = K_f 要求 n_hat 自介質二指介質一。反向則面電流條件之符號翻轉。
• 物質中混淆 D、E、B、H：真空中 D = epsilon_0 E、B = mu_0 H。線性介質中 D = epsilon E、B = mu H。物質中 Maxwell 方程用 D 與 H 為自由源項，用 E 與 B 為力律。混本構關係致 epsilon_r 或 mu_r 因子誤。
• 相速與群速：波速 v = omega/k 為相速。能與資訊以群速 v_g = d(omega)/dk 傳播。色散介質中兩者不同，用相速算能量傳輸致誤。
• 忘輻射條件：無界域之散射與輻射問題，解須滿足 Sommerfeld 輻射條件（無窮遠處出射波）。無此條件解不唯一，可含非物理之入射波。

相關技能

• analyze-magnetic-field —— 算靜態 B 場，為 Maxwell 方程之磁靜極限
• solve-electromagnetic-induction —— 施 Faraday 定律於特定感應幾何與 RL 電路
• formulate-quantum-problem —— 量子化電磁場於量子光學與 QED
• derive-theoretical-result —— 嚴格導出波方程、Green 函數與色散關係
• analyze-diffusion-dynamics —— 擴散方程於導電介質中從 Maxwell 方程而生（趨膚效應）