解三角問

系解三角方、三角形問、恆等驗——分問類、擇策、施恆等與律、驗解於域與範。

用

• 解三角方求未知角或值→用
• 由部分資解三角形（SSS、SAS、ASA、AAS、SSA）→用
• 驗或證三角恆等→用
• 施三角於實問（測、物、工）→用
• 簡繁三角式→用

入

• 必：問述（方、三角形資、待驗恆等、施場）
• 必：所求出式（精值、十進近、通解、定段）
• 可：角單慣（弧或度；默弧）
• 可：域限（如 [0, 2*pi)、[0, 360)、諸實）
• 可：數答精（如四位）

行

一：分問類

定問入何類、各類異策。

1. 三角方：解含三角函未知角

   • 子類：一函線、一函二次、多角、混函、參

2. 三角形解：由部分資、求餘邊角

   • 子類按所予：SSS、SAS、ASA、AAS、SSA（歧例）

3. 恆等驗：證三角方於域諸值皆立

   • 子類：代易、和-積、積-和、半角、倍角

4. 施問：自實場取三角模

   • 子類：周期、仰俯角、方向/航、諧動

文分類：

Problem: Solve 2*sin^2(x) - sin(x) - 1 = 0 for x in [0, 2*pi).
Classification: Trigonometric equation, quadratic in sin(x).

得：明分含子類、直定步二之策。

敗：問不入單類→或為合問。分為子問、各分、序解。如「予兩邊與夾角求三角形面積」合 SAS 解與面積式。

二：擇策

依步一分擇宜法。

三角方：

Equation Type	Strategy
Linear in sin(x) or cos(x)	Isolate the trig function, apply inverse
Quadratic in sin(x) or cos(x)	Substitute u = sin(x), solve quadratic, back-substitute
Multiple angle (sin(2x), cos(3x))	Solve for the inner argument, then divide
Mixed functions (sin and cos)	Convert to single function using identities
Factorable	Factor and solve each factor = 0

三角形解：

Given Data	Primary Tool
SSS	Law of cosines (find largest angle first)
SAS	Law of cosines (find opposite side), then law of sines
ASA	Angle sum = pi, then law of sines
AAS	Angle sum = pi, then law of sines
SSA	Law of sines (check ambiguous case: 0, 1, or 2 solutions)

恆等驗：

• 唯於一邊行（常為繁邊）
• 諸轉至 sin、cos
• 施基恆等：Pythag、倒、商
• 必則施和差、倍角、半角
• 析簡至兩邊配

施問：

• 繪圖標諸知未知
• 識三角關（直角形、斜形、周期函）
• 立方而以上法解

文擇策：

Strategy: Substitute u = sin(x), solve 2u^2 - u - 1 = 0,
back-substitute, and find x in [0, 2*pi).

得：具名策配問類、要式或恆等已識。

敗：無單策→試合法。混 sin cos→試（甲）Pythag 代、（乙）半角 tan 代 t = tan(x/2)、（丙）輔角 asin(x) + bcos(x) = R*sin(x + phi)。恆等卡→自兩邊向中合。

三：系施恆等與律

逐步行所擇策。

主恆等族：

1. Pythag：sin^2(x) + cos^2(x) = 1、1 + tan^2(x) = sec^2(x)、1 + cot^2(x) = csc^2(x)

2. 倍角：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)、cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)

3. 和差：sin(A +/- B) = sin(A)*cos(B) +/- cos(A)*sin(B)、cos(A +/- B) = cos(A)*cos(B) -/+ sin(A)*sin(B)

4. 正弦律：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R

5. 餘弦律：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)

6. 半角：sin(x/2) = +/-sqrt((1 - cos(x))/2)、cos(x/2) = +/-sqrt((1 + cos(x))/2)

明示各代步：

2*sin^2(x) - sin(x) - 1 = 0
Let u = sin(x):
  2u^2 - u - 1 = 0
  (2u + 1)(u - 1) = 0
  u = -1/2  or  u = 1
Back-substitute:
  sin(x) = -1/2  or  sin(x) = 1

三角形解計中值留足精：

Given: a = 7, b = 10, C = 38 degrees (SAS)
Law of cosines: c^2 = 49 + 100 - 2(7)(10)*cos(38)
  c^2 = 149 - 140*cos(38) = 149 - 110.312 = 38.688
  c = 6.220
Law of sines: sin(A)/7 = sin(38)/6.220
  sin(A) = 7*sin(38)/6.220 = 0.6930
  A = 43.78 degrees
  B = 180 - 38 - 43.78 = 98.22 degrees

得：自原方或資至中果之全代鏈、各恆等施有名。

敗：施恆等致更繁→重慮策。常救：（甲）為繁恆等證試以 Euler 式轉指、（乙）兩邊乘共軛、（丙）以代減度。數計生異值→用獨計路驗。

四：解與察域範

取諸解、濾於問域。

1. 覓參角：各三角函值用反函定參角：

sin(x) = -1/2  =>  reference angle = pi/6
sin(x) = 1     =>  reference angle = pi/2

2. 列基期諸解：用號與象限則：

sin(x) = -1/2:
  x is in Q3 or Q4 (sin negative)
  x = pi + pi/6 = 7*pi/6
  x = 2*pi - pi/6 = 11*pi/6

sin(x) = 1:
  x = pi/2

3. 施域限：留唯定段內者：

Domain: [0, 2*pi)
Solutions: x = pi/2, 7*pi/6, 11*pi/6

4. 書通解（如請）：

General solution:
  x = pi/2 + 2*k*pi,  k in Z
  x = 7*pi/6 + 2*k*pi,  k in Z
  x = 11*pi/6 + 2*k*pi,  k in Z

5. 察範限：反函問驗出於主值範。三角形問驗諸角正、和為 pi（180）、諸邊正

6. 理歧例（SSA）：以正弦律於 SSA：

   • sin(B) > 1：無解
   • sin(B) = 1：一解（直）
   • sin(B) < 1 而所予角銳：兩可解（察兩否生效形）
   • 所予角鈍或直：至多一解

得：全明列解集合域與範諸限、若可理歧例。

敗：定段無解→驗方立否。解過多→察是否引異解（如兩邊方）。各候解代原方驗。

五：數驗解

以代或獨計確各解。

1. 各解代入原方驗等：

Check x = 7*pi/6:
  sin(7*pi/6) = -1/2
  2*(-1/2)^2 - (-1/2) - 1 = 2*(1/4) + 1/2 - 1 = 1/2 + 1/2 - 1 = 0. VERIFIED.

Check x = 11*pi/6:
  sin(11*pi/6) = -1/2
  2*(1/4) + 1/2 - 1 = 0. VERIFIED.

Check x = pi/2:
  sin(pi/2) = 1
  2*(1) - 1 - 1 = 0. VERIFIED.

2. 三角形問用獨律驗：

Verify triangle: a=7, b=10, c=6.220, A=43.78, B=98.22, C=38
Check law of sines: a/sin(A) = 7/sin(43.78) = 7/0.6913 = 10.126
                    b/sin(B) = 10/sin(98.22) = 10/0.9897 = 10.104
                    c/sin(C) = 6.220/sin(38) = 6.220/0.6157 = 10.102
Ratios approximately equal (within rounding). VERIFIED.
Check angle sum: 43.78 + 98.22 + 38 = 180. VERIFIED.

3. 恆等證用具值驗：

Verify identity: sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x)
Let x = pi/3:
  LHS: sin(2*pi/3) = sin(120) = sqrt(3)/2
  RHS: 2*sin(pi/3)*cos(pi/3) = 2*(sqrt(3)/2)*(1/2) = sqrt(3)/2
  LHS = RHS. VERIFIED.

4. 末答以所請式記：

Solution: x in {pi/2, 7*pi/6, 11*pi/6} for x in [0, 2*pi).

得：各解過代驗。三角形解滿正餘弦律。恆等證至少一數測確。

敗：解敗驗→異解。除之、覆察引步。常異解源：兩邊方（引號歧）、乘可零式、參角象限誤。

驗

• 問入具類與子類
• 解策具名配問類
• 各恆等或律施有名
• 諸代步明示（無邏跳）
• 域與範限明施
• SSA 三角形問理歧例
• 各解代原方驗
• 三角形解以獨律交驗
• 末答以所請式陳（精、十進、通、段）
• 角單貫一（不混弧度）

忌

• 除三角函失解：兩除以 sin(x) 棄諸 sin(x) = 0 之解。常析非除：書 sin(x) * f(x) = 0 各析分解
• 方致異解：sin(x) = cos(x) 兩方得 sin^2(x) = cos^2(x)、解倍。各候驗於原（未方）方
• 忽歧例（SSA）：兩邊一非夾角解三角形、正弦律生 0、1、2 效形。不察次解失效答
• 混角單：算或語於弧模時用 sin(30) 得 sin(30 弧)、非 sin(30 度)。始陳單慣、貫之
• 參角誤象限：sin(x) = -1/2 在 Q3、Q4、非 Q1、Q2。前置角察函號於象限
• 忘周期：實線三角方解無窮。問求通解→含「+ 2kpi」（tan 為「+ kpi」）。求 [0, 2pi) 解→列段內諸解

參

• construct-geometric-figure - 作常需三角析定角與長
• prove-geometric-theorem - 三角恆等常為幾何證之輔
• create-skill - 包新三角法為可重用技時用