證幾何定理

擇適切之證法，自前提至結論建嚴謹之邏輯鏈、處理一切特例，並產出完整之證明文件，以嚴證一幾何定理。

適用時機

• 給定一幾何陳述，求證其為真
• 驗證關於幾何圖形或關係之猜想
• 為較大幾何論證所需之引理
• 將幾何直觀轉為嚴謹之證明
• 對同一定理比較不同證法之效用

輸入

• 必要：定理陳述（待證之幾何主張）
• 必要：給定資訊（前提、定義與所提供之圖形描述）
• 選擇性：偏好之證法（直接、反證、座標、向量、變換）
• 選擇性：嚴謹度（非形式、半形式、附公理引用之形式）
• 選擇性：可不證即引用之既有結果（如「可假設畢氏定理」）
• 選擇性：是否須明示處理所有退化與特例

步驟

步驟一：精確陳述定理

以標準數學形式重寫，明示「給定」與「求證」兩節。

1. 抽取前提。於「給定」節中列每一條件。明示幾何類型（點、線、線段、射線、圓、多邊形）、關聯關係（位於、通過）、度量條件（全等、相等、垂直、平行）與秩序假設。

2. 陳述結論。於「求證」節中精確寫出待證者。區別：

   • 相等／全等：AB = CD、角 A = 角 B、三角形 ABC 全等於三角形 DEF
   • 關聯：點 P 位於線 L 上、三線共點
   • 不等：AB > CD、角 A < 90 度
   • 存在：存在點 P 使得……
   • 唯一：該點唯一

3. 辨明隱含假設。多數幾何題假設歐式幾何（平行公設）、非退化（點不重合、線不共點除非言明）與正向定向。將之明示。

4. 繪或述配置。若有圖，謄其關鍵特徵；無，則自構：

Given: Triangle ABC with D the midpoint of BC, E the midpoint of AC.
       Line segment DE.
Prove: DE is parallel to AB and DE = AB/2.

Configuration:
  A is at the apex; B and C form the base.
  D is the midpoint of BC; E is the midpoint of AC.
  DE connects the two midpoints.

Implicit assumptions: Euclidean plane, A is not on line BC (non-degenerate triangle).

預期： 一份精確、無歧之陳述，含「給定」與「求證」二節，所有隱含假設皆已浮現，配置描述清晰。

失敗時： 若定理陳述含糊（如「中點三角形與原三角形相似」），以明示之定義與量詞重寫。若陳述似為偽，先以具體例測試再進。偽定理無從證；當尋反例並陳述之。

步驟二：擇證法

擇最適合定理結構之證法。

可用之法與適用時機：

1. 直接（綜合）證明：自前提向前推，用歐式命題與既證定理。

   • 適：全等／相似之證、追角、關聯定理。
   • 工具：三角形全等準則（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）、平行性質（內錯角、同位角）、圓定理（圓周角、切徑、點之冪）。

2. 反證：假設結論之否定，導出矛盾。

   • 適：唯一性、不可能性、直接路線不明之不等式。
   • 結構：「設反證，假定 [否定]。則…… [邏輯鏈]……，與 [既知事實] 矛盾。故原結論成立。」

3. 座標證明：將圖置於座標系，以代數操作。

   • 適：中點／距離／斜率關係、共線、平行、垂直。
   • 設置：擇座標以最少計算（如將一頂點置於原點、一邊置於某軸）。

4. 向量證明：以向量運算表幾何關係。

   • 適：質心／重心性質、平行（平行向量）、垂直（內積為 0）、面積比。
   • 標記：相對所擇原點之位置向量，或對平移不變者用自由向量。

5. 變換證明：施一幾何變換（反射、旋轉、平移、放縮）將圖之一部映至另一部。

   • 適：對稱性、經等距之全等、經放縮之相似。

評估並記錄擇定：

Theorem: Midline theorem (DE || AB and DE = AB/2).
Method evaluation:
  - Direct: requires parallel line theory and similar triangles. Moderate.
  - Coordinate: place B at origin, C on x-axis. Short computation. Good.
  - Vector: express D, E as midpoints, compute DE vector. Elegant.
Selected method: Coordinate proof (for explicit computation).
Alternative: Vector proof (for elegance).

預期： 一具名之證法，附其適合本定理之理由，並可選地記替代路線。

失敗時： 若初擇之法於步驟三遇阻，改用替代。座標證能機械式地解決度量問題，可作可靠後援。若擇反證但其否定未導向有用之中介，改試直接。

步驟三：以正當之步驟構造證明

將證明建為邏輯步驟之序列，每步皆以公理、定義或既證結果為據。

直接／綜合證明：

組為蘊含鏈。每步須引用其依據：

Proof:
1. Let M be the midpoint of AB.                    [Given]
2. Then AM = MB = AB/2.                            [Definition of midpoint]
3. In triangle ABC, since CM is a median,
   CM connects vertex C to midpoint M of AB.       [Definition of median]
4. Triangles ACM and BCM share side CM.            [Common side]
5. AM = MB.                                         [Step 2]
6. AC may or may not equal BC.                      [No assumption of isosceles]
...

座標證明：

設座標、計算、詮釋：

Proof (coordinate):
1. Place B at the origin (0, 0) and C at (2c, 0).  [Choice of coordinates]
2. Let A = (2a, 2b) for some a, b with b != 0.     [Non-degeneracy; factor of 2
                                                      simplifies midpoint computation]
3. D = midpoint of BC = ((0 + 2c)/2, 0) = (c, 0).  [Midpoint formula]
4. E = midpoint of AC = ((2a + 2c)/2, (2b + 0)/2)
     = (a + c, b).                                   [Midpoint formula]
5. Vector DE = E - D = (a + c - c, b - 0) = (a, b). [Vector subtraction]
6. Vector AB = B - A = (0 - 2a, 0 - 2b) = (-2a, -2b).
   So vector BA = (2a, 2b) = 2 * (a, b) = 2 * DE.  [Vector subtraction]
7. Since BA = 2 * DE, vectors DE and BA are parallel
   (scalar multiple) and |DE| = |BA|/2.             [Parallel vectors; magnitude]
8. Therefore DE || AB and DE = AB/2.                 [QED]

向量證明：

以相對所擇原點之位置向量：

Proof (vector):
Let position vectors of A, B, C be a, b, c respectively.
1. D = (b + c)/2.                                   [Midpoint of BC]
2. E = (a + c)/2.                                   [Midpoint of AC]
3. DE = E - D = (a + c)/2 - (b + c)/2 = (a - b)/2. [Vector subtraction]
4. AB = B - A = b - a.                               [Vector subtraction]
5. DE = -(1/2)(b - a) = (1/2)(a - b).
   So DE = -(1/2) * AB, meaning DE = (1/2) AB
   in magnitude with opposite direction
   (equivalently, DE || AB).                         [Scalar multiple => parallel]
6. |DE| = (1/2)|AB|, i.e., DE = AB/2.               [Magnitude of scalar multiple]
QED.

證明結構要求：

• 每步編號。
• 每步後以方括號引用依據。
• 以「故」或「因此」標出邏輯結論。
• 勿留缺口：若某步須中介結果，或證之或引之。

預期： 一份完整證明，每步皆順承前步與所引結果，無無據主張。

失敗時： 若某步無從引據，可能為偽。以具體例測之。若數值上成立而無從引據，可能須一中介引理。陳述之、單獨證之、再續主證。若整路阻塞，回步驟二改擇他法。

步驟四：處理特例與邊界條件

辨明並處理通用論證可能失效之配置。

1. 退化情況。檢驗證明於下列情況是否仍成立：

   • 三角形退化為線（頂點共線）
   • 圓退化為點（半徑零）或線（半徑無窮）
   • 兩點重合
   • 角為 0 或 π（平角）
   • 多邊形變為非凸或自交

2. 邊界情況。檢極值：

   • 角依賴定理中之直角
   • 三角形定理中之等腰或等邊特化
   • 圓定理中切線對割線之配置

3. 座標證明：驗座標指派未失普遍性：

   • 將某點置於原點是否排除某些有效配置？
   • 假設一邊置於某軸是否強加特殊定向？
   • 是否有隱含之符號假設（b > 0）排除有效情況？

4. 記錄每一特例及其處置：

Special cases:
- If A lies on BC (degenerate triangle): D = E = midpoint of BC,
  and DE has length 0 while AB/2 > 0 in general. But the theorem
  assumes a non-degenerate triangle (b != 0 in our coordinates), so
  this case is excluded by hypothesis.
- If triangle is isosceles with AB = AC: the proof applies without
  modification (no special property of isosceles triangles was excluded).
- Coordinate generality: A = (2a, 2b) with b != 0 covers all non-degenerate
  triangles up to rotation and reflection, which preserves parallelism and
  length ratios. No generality lost.

預期： 每一退化或邊界情況皆已辨明；對之或證明仍適用，或證明該情況被前提排除，或另論。

失敗時： 若某特例破壞證明，定理可能需添前提（如「對非退化三角形」）。回步驟一修陳述，或為該特例另證。

步驟五：以 QED 收筆寫完整證明

整合前諸步驟為終本證明文件。

1. 標頭：以「給定／求證」形式陳述定理。

2. 證明本體：呈現自步驟三之完整正當步驟鏈。

3. 特例：將步驟四之分析或併入（若簡），或於主證後附作備註。

4. 收筆：以明確標誌結束：

   • 「QED」（quod erat demonstrandum）
   • Halmos 墓碑符（實心或空心方塊）
   • 「證畢。」

5. 複審證明之邏輯完整性：

   • 每步是否順承前步或所引結果？
   • 所有前提是否皆被用？（若某前提未用，定理可能於更弱條件下亦成立，或有缺口。）
   • 結論是否於最末步明示達成？

格式化終本：

THEOREM (Midline Theorem):
Given: Triangle ABC; D is the midpoint of BC; E is the midpoint of AC.
Prove: DE || AB and DE = AB/2.

PROOF:
Place B = (0, 0), C = (2c, 0), A = (2a, 2b) with b != 0
(ensuring non-degeneracy).

(1) D = midpoint(B, C) = (c, 0).                 [Midpoint formula]
(2) E = midpoint(A, C) = (a + c, b).             [Midpoint formula]
(3) Vector DE = (a, b).                           [Subtraction: (2) - (1)]
(4) Vector BA = (2a, 2b) = 2 * DE.               [Subtraction: A - B]
(5) Since BA = 2 * DE, the vectors are parallel,
    so DE || AB.                                  [Parallel criterion]
(6) |DE| = sqrt(a^2 + b^2);
    |AB| = sqrt(4a^2 + 4b^2) = 2*sqrt(a^2 + b^2)
         = 2|DE|.
    Therefore DE = AB/2.                          [Magnitude computation]

QED.

6. 可選：陳述逆定理或述其推廣。

預期： 一份自含之證明文件，讀者（或驗證代理）可自前提循至結論而不需外部參照，以明示之 QED 結尾。

失敗時： 若終審發現缺口，回步驟三補之。若證明正確但過長（>30 步），考慮以引理重組：將可重用之中介結果抽為具名引理，單獨證之，再於主證引用。

驗證

• 定理以精確之「給定／求證」形式陳述，所有隱含假設皆明示
• 證法已具名並附理由
• 每步皆編號並引依據
• 鏈中無無據主張或邏輯缺口
• 所有前提至少各被用一次（或註可移除）
• 結論於末步明示
• 退化與邊界情況皆已辨明並處理
• 座標證明已示其座標選擇未失普遍性
• 證明以 QED 或同等收筆結束
• 證明已對至少一具體數值例測試

常見陷阱

• 假設待證者（循環論證）：最陰險之錯。例如，證兩三角形全等時，將該全等之推論用為一步。永將每步追溯至前提或既證結果，勿至結論。

• 無據之圖形假設：圖可暗示二線相交、某點位於三角形內、某角為銳。此等視覺印象須證，不可假設。圖示明而不立證。

• 座標放置失普遍性：將三角形以 A 置原點、B 置正 x 軸、C 置上半平面，將排除頂點順時針排序之配置。對距離／平行之證或無妨，但對與定向相依者（帶號面積、外積方向）可有妨。永驗。

• 忽略退化：關於圓內接三角形之證可能於三角形退化為直徑加圓上一點時失效。永檢點重合、線變平行、圖退化時之情況。

• 引用過強之結果：用餘弦定理證可由基本追角即得之結果，將模糊證明邏輯，並可能引入不必要假設（如餘弦函數為良定）。用最簡足之器。

• 逆定理之陷：「四邊形為平行四邊形則對角線互相平分」為真，惟其逆為另一定理，須另證。當主求正向時勿證逆向，反之亦然。

• 分情不全：證分情（如角 A 為銳、直、鈍）須述全。證銳例而稱「他例同理」而未驗，恐隱真實之異。

相關技能

• construct-geometric-figure —— 構造與證明互補：構造示存在，證立性質
• solve-trigonometric-problem —— 三角計算常於幾何證明中為子任務
• create-skill —— 將新證法封裝為可重用之技能時依之