探丟番圖方程

解丟番圖方程——僅求整數解之多項式方程。分方程之類、測可解性、尋特解與通解、生解族。涵線性方程、Pell 方程、畢氏三元組與一般二次型。

適用時機

• 尋線性方程 ax + by = c 之所有整數解
• 解 Pell 方程 x^2 - Dy^2 = 1（或 = -1）
• 生畢氏三元組或他參數化整數族
• 藉模約束證所予方程無整數解
• 測一般二次丟番圖方程之可解性
• 尋他皆自之生之基本解

輸入

• 必要：待解之丟番圖方程（顯式，如 3x + 5y = 17 或 x^2 - 7y^2 = 1）
• 選擇性：求所有解、僅一特解、或證不存
• 選擇性：變元範圍之約束（如唯正整數）
• 選擇性：是否以參數式表通解
• 選擇性：所偏好之證技（構造、下降、模阻）

步驟

步驟一：分方程類

定丟番圖方程之結構以擇合適之解法。

1. 線性：ax + by = c，a、b、c 為予之整數，x、y 為未知。

   • 解法：擴展歐幾里得算法。

2. Pell 方程：x^2 - Dy^2 = 1（或 = -1、或 = N），D 為正非平方整數。

   • 解法：sqrt(D) 之連分數展開。

3. 畢氏：x^2 + y^2 = z^2。

   • 解法：參數族 x = m^2 - n^2、y = 2mn、z = m^2 + n^2。

4. 一般二次：ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0。

   • 解法：完全平方、化至 Pell 或更簡形，或施模約束。

5. 高階或特殊：Fermat 型（x^n + y^n = z^n，n > 2）、平方和等。

   • 解法：模阻、下降或已知不可能結果。

記分類與所擇之法。

預期： 精確分類，附已識之解策。

失敗時： 若方程不配標準型，試代或轉以化至已知形。如 x^2 + y^2 + z^2 = n 可藉 Legendre 三平方和定理。若無顯之化，施模約束（步驟四）以測阻。

步驟二：解線性丟番圖方程（若類為線性）

解 ax + by = c 求整數 x、y。

1. 以歐幾里得算法算 g = gcd(a, b)。

2. 測可解：解存當且僅當 g | c。

   • 若 g 不整除 c，證不存：「因 gcd(a, b) = g 而 g 不整除 c，故方程 ax + by = c 無整數解。」
   • 若無解則止。

3. 簡：除以 g 得 (a/g)x + (b/g)y = c/g，其中 gcd(a/g, b/g) = 1。

4. 以擴展歐幾里得算法尋特解：

   • 由回代表 1 = (a/g)*s + (b/g)*t。
   • 乘以 c/g：(c/g) = (a/g)(sc/g) + (b/g)(tc/g)。
   • 特解：x0 = s * (c/g)、y0 = t * (c/g)。

5. 書通解：

   • x = x0 + (b/g)*k
   • y = y0 - (a/g)*k
   • 於所有整數 k。

6. 施約束（若需正解）：

   • 解 x0 + (b/g)*k > 0 與 y0 - (a/g)*k > 0 求 k。
   • 報有效 k 值之範圍或述無正解存。

例（15x + 21y = 39）：

gcd(15, 21) = 3. Does 3 | 39? Yes.
Simplify: 5x + 7y = 13.
Extended Euclidean: 1 = 3*5 - 2*7.
Multiply by 13: 13 = 39*5 - 26*7.
Particular: x0 = 39, y0 = -26.
General: x = 39 + 7k, y = -26 - 5k, k in Z.
Check (k=0): 5*39 + 7*(-26) = 195 - 182 = 13. Correct.

預期： 以整數 k 參數化之通解族，附特解之驗。

失敗時： 若特解誤，逐步再檢擴展歐幾里得之回代。最常之誤為符號誤。驗：a * x0 + b * y0 當確等於 c（非僅某模之下）。

步驟三：解 Pell 方程（若類為 Pell）

解 x^2 - Dy^2 = 1，D 為正非平方整數。

1. 驗 D 非完全平方：若 D = k^2，則 x^2 - k^2*y^2 = (x - ky)(x + ky) = 1，迫 x - ky = x + ky = +/-1，得 y = 0、x = +/-1（瑣）。方程唯於非平方 D 方有趣。

2. 算 sqrt(D) 之連分數展開：

   • 初：a0 = floor(sqrt(D))、m0 = 0、d0 = 1。
   • 迭：m_{i+1} = d_i * a_i - m_i、d_{i+1} = (D - m_{i+1}^2) / d_i、a_{i+1} = floor((a0 + m_{i+1}) / d_{i+1})。
   • 續至 a_i 之序重（展開於 a0 後週期）。
   • 記週期長 r。

3. 自收斂子抽基本解：

   • 算連分數之收斂子 p_i / q_i。
   • 收斂子 p_{r-1} / q_{r-1}（首週期之末）予基本解：
     • 若 r 偶：(x1, y1) = (p_{r-1}, q_{r-1}) 解 x^2 - Dy^2 = 1。
     • 若 r 奇：(p_{r-1}, q_{r-1}) 解 x^2 - Dy^2 = -1（負 Pell 方程）。則 (p_{2r-1}, q_{2r-1}) 解正方程。

4. 自基本解 (x1, y1) 生他解：

   • 遞推：x_{n+1} + y_{n+1} * sqrt(D) = (x1 + y1 * sqrt(D))^{n+1}。
   • 等價：x_{n+1} = x1 * x_n + D * y1 * y_n、y_{n+1} = x1 * y_n + y1 * x_n。

5. 呈基本解與生諸解之遞推。

小 D 之基本解：

預期： 基本解 (x1, y1) 以代入驗，及生所有正解之遞推。

失敗時： 若連分數算不收於週期，檢迭公式。週期長 r 可大（如 D = 61 有 r = 11 且基本解 (1766319049, 226153980)）。於大 D，用計算工具而非手算。

步驟四：施模約束以證存/不存（若類為一般二次或高階）

證方程無整數解，以示模阻。

1. 擇模數 m（典型 m = 2、3、4、5、7、8 或 16）。

2. 列所有餘：算左式 mod m 於變元之所有可能餘。

3. 察是否有組合得所需之右式 mod m。

   • 若無組合合，則方程無解（模阻）。

4. 常阻：

   • mod 4 之平方：n^2 = 0 或 1 (mod 4)。故 x^2 + y^2 = c 若 c = 3 (mod 4) 則無解。
   • mod 8 之平方：n^2 = 0、1 或 4 (mod 8)。故 x^2 + y^2 + z^2 = c 若 c = 7 (mod 8) 則無解。
   • mod 9 之立方：n^3 = 0、1 或 8 (mod 9)。故 x^3 + y^3 + z^3 = c 於某 c mod 9 可阻。

5. 若未尋阻，模法不能證不存。解或存或不存；試構造法或下降。

二次剩餘參考：

預期： 或以模阻證不存，或述所測之模未尋阻。

失敗時： 若模法不決，試無窮下降：假解存，推一嚴格更小之解，反復至與正性矛盾。此技於證 x^4 + y^4 = z^2 無非瑣解為古典。

步驟五：自基本解生解族

以基本解與整數參數表所有解。

1. 線性方程：族為 x = x0 + (b/g)*k、y = y0 - (a/g)*k（自步驟二）。

2. Pell 方程：以步驟三之遞推生首數解：

   (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), ...
   

   列至少 3-5 解為合理性檢。

3. 畢氏三元組：自參數 m > n > 0、gcd(m, n) = 1、m - n 奇生原三元組：

   • a = m^2 - n^2、b = 2mn、c = m^2 + n^2。
   • 所有原三元組皆此生（至換 a 與 b）。

4. 一般族：若可，以參數式表解。若方程定 genus 0 之曲線，有有理參數化。若 genus >= 1，或有有限解（genus >= 2 之 Faltings 定理）。

5. 驗至少 3 族員以代入原方程。

例（Pell，D = 2）：

Fundamental: (x1, y1) = (3, 2). Check: 9 - 2*4 = 1. Correct.
(x2, y2) = (3*3 + 2*2*2, 3*2 + 2*3) = (17, 12). Check: 289 - 2*144 = 1.
(x3, y3) = (3*17 + 2*2*12, 3*12 + 2*17) = (99, 70). Check: 9801 - 2*4900 = 1.

預期： 所有解之參數或遞歸述，至少 3 解已驗。

失敗時： 若所生之解驗敗，則基本解或遞推公式誤。於 Pell 方程，自連分數再推基本解。於線性方程，再檢擴展歐幾里得之算。

驗證

• 方程已按類正分（線性、Pell、畢氏、一般二次、高階）
• 線性方程：解前已檢 gcd(a, b) | c
• 擴展歐幾里得之回代已驗：ax0 + by0 = c 確等
• 通解含所有解（以整數 k 或遞推參數化）
• Pell：施連分數法前 D 已驗為非平方
• Pell：基本解以直算滿足 x1^2 - D*y1^2 = 1
• 模阻證列所有餘組合，非僅一些
• 任解族之至少 3 員以代入驗
• 約束（正整數、有界範圍）於尋通解後施
• 不存之宣以 gcd 條件或模阻證

常見陷阱

• 假 gcd | c 之方程皆有正解：通解 x = x0 + (b/g)*k 含負值。正解即於方程於所有整數可解時亦或不存。

• 混 x^2 - Dy^2 = 1 與 x^2 - Dy^2 = -1：負 Pell 方程唯於連分數週期長為奇時有解。施正方程公式於負方程標致誤結。

• 忘 Pell 方程之瑣解：(x, y) = (1, 0) 恒滿足 x^2 - Dy^2 = 1，然於生非瑣解無用。基本解為 y > 0 之最小解。

• 模阻不全：僅檢 mod 2 或 mod 4 或漏高模所見之阻。若首數模示無阻，試 mod 8、9、16 或二次型之判別式。

• 連分數週期之差一：收斂子索引須謹追。基本解自 p_{r-1}/q_{r-1} 而非 p_r/q_r，r 為週期長。

• 下降無基情：以下降證不存時，必示下降終於矛盾（如 x = 0 與 x > 0 矛盾）。無此基情則論不全。

• 誤施費馬大定理：x^n + y^n = z^n 於 n > 2 無非瑣整數解（Wiles, 1995），然此不適於異係之方程如 2x^3 + 3y^3 = z^3。

相關技能

• analyze-prime-numbers — 分解與 gcd 算為丟番圖解之前置
• solve-modular-arithmetic — 線性同餘 ax = c (mod b) 等價於線性丟番圖方程
• derive-theoretical-result — 證丟番圖不可能結果之形式推導技