解三角之題

系統解三角方程、三角形之題、恆等式之驗——分問題之類、選法、施恆等與律、以域與值之限驗解。

用時

• 解未知角或值之三角方程乃用
• 由部分資解三角形（SSS、SAS、ASA、AAS、SSA）乃用
• 驗或證三角恆等式乃用
• 施三角於實之題（測、物、工）乃用
• 簡繁三角式乃用

入

• 必要：題述（方程、三角形資、所驗恆等、應用之境）
• 必要：所欲出之形（精值、小數近、通解、特區間）
• 可選：角單位之規（弧度或度；默：弧度）
• 可選：域之限（如 [0, 2*pi)、[0, 360)、全實）
• 可選：數答所須之精（如四小數位）

法

第一步：分問題之類

定問題屬何類，各類異法。

1. 三角方程：解方程中未知角，含三角函。

   • 子類：一三角函中之線、一中之二次、多角、混函、參數。

2. 三角形之解：由部分三角形資，求餘諸邊與角。

   • 依資之子類：SSS、SAS、ASA、AAS、SSA（歧例）。

3. 恆等式之驗：證三角方程於其域中諸值皆成。

   • 子類：代數操作、和化積、積化和、半角、倍角。

4. 應用題：自實境提三角之模。

   • 子類：周期模、仰俯角、方位／航、諧動。

書其分：

Problem: Solve 2*sin^2(x) - sin(x) - 1 = 0 for x in [0, 2*pi).
Classification: Trigonometric equation, quadratic in sin(x).

得：明分而識子類，後續第二步之策直定。

敗則：若題不入一類，或為合題。分為子題、各分而續解。例「給二邊與夾角求三角形之面積」合三角形之解（SAS）與面積公式。

第二步：擇解之策

依第一步之分擇宜之法。

為三角方程：

Equation Type	Strategy
Linear in sin(x) or cos(x)	Isolate the trig function, apply inverse
Quadratic in sin(x) or cos(x)	Substitute u = sin(x), solve quadratic, back-substitute
Multiple angle (sin(2x), cos(3x))	Solve for the inner argument, then divide
Mixed functions (sin and cos)	Convert to single function using identities
Factorable	Factor and solve each factor = 0

為三角形之解：

Given Data	Primary Tool
SSS	Law of cosines (find largest angle first)
SAS	Law of cosines (find opposite side), then law of sines
ASA	Angle sum = pi, then law of sines
AAS	Angle sum = pi, then law of sines
SSA	Law of sines (check ambiguous case: 0, 1, or 2 solutions)

為恆等式之驗：

• 唯於一側作（常為繁側）
• 諸皆轉為 sin、cos
• 施基本恆等：勾股、倒數、商
• 適用和差、倍角、半角公式
• 析、簡，至兩側合

為應用題：

• 繪圖而標諸已知與未知
• 識三角關係（直角、斜角、周期函）
• 立方程而以上法解之

書所擇之策：

Strategy: Substitute u = sin(x), solve 2u^2 - u - 1 = 0,
back-substitute, and find x in [0, 2*pi).

得：與題類合之具體有名之策，含關之公式或恆等。

敗則：若無單策可施，試合法。混 sin 與 cos 之方程：（甲）勾股代入、（乙）半角切代入 t = tan(x/2)、（丙）輔角法（asin(x) + bcos(x) = R*sin(x + phi)）。若於恆等卡，試自兩側向共中式。

第三步：系而施恆等與律

逐步行所擇之策。

諸恆等之家可取：

1. 勾股：sin^2(x) + cos^2(x) = 1、1 + tan^2(x) = sec^2(x)、1 + cot^2(x) = csc^2(x)

2. 倍角：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)、cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)

3. 和差：sin(A +/- B) = sin(A)*cos(B) +/- cos(A)*sin(B)、cos(A +/- B) = cos(A)*cos(B) -/+ sin(A)*sin(B)

4. 正弦律：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R

5. 餘弦律：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)

6. 半角：sin(x/2) = +/-sqrt((1 - cos(x))/2)、cos(x/2) = +/-sqrt((1 + cos(x))/2)

明示各代數之步：

2*sin^2(x) - sin(x) - 1 = 0
Let u = sin(x):
  2u^2 - u - 1 = 0
  (2u + 1)(u - 1) = 0
  u = -1/2  or  u = 1
Back-substitute:
  sin(x) = -1/2  or  sin(x) = 1

三角形之解，算中值而持足精：

Given: a = 7, b = 10, C = 38 degrees (SAS)
Law of cosines: c^2 = 49 + 100 - 2(7)(10)*cos(38)
  c^2 = 149 - 140*cos(38) = 149 - 110.312 = 38.688
  c = 6.220
Law of sines: sin(A)/7 = sin(38)/6.220
  sin(A) = 7*sin(38)/6.220 = 0.6930
  A = 43.78 degrees
  B = 180 - 38 - 43.78 = 98.22 degrees

得：自始方程或資至中果之全代數鏈，諸恆等之施皆標之。

敗則：若恆等之施致更繁而非更簡，再考策。常之復救：（甲）試以歐拉公式轉為指數形以證繁恆等、（乙）兩側乘共軛、（丙）以代入減次。若數值算生異值，以獨算路驗之。

第四步：解而察域與值之限

取諸解，依題之域篩之。

1. 求參考角。各三角函之值，以反函求參考角：

sin(x) = -1/2  =>  reference angle = pi/6
sin(x) = 1     =>  reference angle = pi/2

2. 列基本周期內諸解。用符與象限之則：

sin(x) = -1/2:
  x is in Q3 or Q4 (sin negative)
  x = pi + pi/6 = 7*pi/6
  x = 2*pi - pi/6 = 11*pi/6

sin(x) = 1:
  x = pi/2

3. 施域之限。唯留所定區間之解：

Domain: [0, 2*pi)
Solutions: x = pi/2, 7*pi/6, 11*pi/6

4. 書通解（若請）：

General solution:
  x = pi/2 + 2*k*pi,  k in Z
  x = 7*pi/6 + 2*k*pi,  k in Z
  x = 11*pi/6 + 2*k*pi,  k in Z

5. 察值之限。反函題，驗出於主值範圍。三角形題，驗諸角為正而和為 pi（或 180 度），諸邊為正。

6. 治歧例（SSA）。SSA 資用正弦律：

   • sin(B) > 1：無解。
   • sin(B) = 1：一解（直角）。
   • sin(B) < 1 而給角為銳：二可解（察兩者皆為有效三角形否）。
   • 給角為鈍或直：至多一解。

得：完之明列解集，敬諸域與值之限，歧例已治（若適）。

敗則：若所定域中無解，驗方程立之是否正。若解過多，察是否引外解（如兩側平方）。每候解皆代入原方程驗。

第五步：以數驗解

每解皆以代入或獨算驗之。

1. 代入各解於原方程而驗等：

Check x = 7*pi/6:
  sin(7*pi/6) = -1/2
  2*(-1/2)^2 - (-1/2) - 1 = 2*(1/4) + 1/2 - 1 = 1/2 + 1/2 - 1 = 0. VERIFIED.

Check x = 11*pi/6:
  sin(11*pi/6) = -1/2
  2*(1/4) + 1/2 - 1 = 0. VERIFIED.

Check x = pi/2:
  sin(pi/2) = 1
  2*(1) - 1 - 1 = 0. VERIFIED.

2. 三角形題，以獨律驗：

Verify triangle: a=7, b=10, c=6.220, A=43.78, B=98.22, C=38
Check law of sines: a/sin(A) = 7/sin(43.78) = 7/0.6913 = 10.126
                    b/sin(B) = 10/sin(98.22) = 10/0.9897 = 10.104
                    c/sin(C) = 6.220/sin(38) = 6.220/0.6157 = 10.102
Ratios approximately equal (within rounding). VERIFIED.
Check angle sum: 43.78 + 98.22 + 38 = 180. VERIFIED.

3. 恆等之證，以特數值驗：

Verify identity: sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x)
Let x = pi/3:
  LHS: sin(2*pi/3) = sin(120) = sqrt(3)/2
  RHS: 2*sin(pi/3)*cos(pi/3) = 2*(sqrt(3)/2)*(1/2) = sqrt(3)/2
  LHS = RHS. VERIFIED.

4. 書終答於所請之格：

Solution: x in {pi/2, 7*pi/6, 11*pi/6} for x in [0, 2*pi).

得：諸解皆過代入之驗。三角形之解滿正弦律與餘弦律。恆等之證至少有一數驗。

敗則：若一解驗敗，乃外解。除之而再察其引之步。常源：兩側平方（引符歧）、乘可為零之式、擇參考角之誤象限。

驗

• 題分為具體之類與子類
• 解之策明名而合題類
• 各恆等或律之施皆標其名
• 諸代數之步皆示（無跳邏）
• 域與值之限明施
• SSA 三角形題之歧例已治
• 每解皆代入原方程驗
• 三角形之解以獨律交驗
• 終答以所請之格陳（精、小數、通、特區間）
• 角單位全文一致（無弧度與度混）

陷

• 除三角函而失解：兩側除 sin(x) 棄諸 sin(x) = 0 之解。恆析而不除：書 sin(x) * f(x) = 0 而各因解之。

• 平方致外解：sin(x) = cos(x) 兩側平方得 sin^2(x) = cos^2(x)，倍解。恆驗候解於原（未平方）方程。

• 忽歧例（SSA）：兩邊與非夾角之三角形，正弦律可生 0、1 或 2 有效之三角形。不察第二解則失有效之答。

• 混角單位：計算機或語為弧度模時用 sin(30) 得 sin(30 弧度)，非 sin(30 度)。始陳單位之規而通文遵之。

• 參考角誤象限：sin(x) = -1/2 致 x 於 Q3 與 Q4，非 Q1 與 Q2。恆察三角函之符對象限。

• 忘周期：實線上之三角方程有無窮解。若題求通解，含「+ 2kpi」（切為「+ kpi」）之項。若求 [0, 2pi) 之解，列彼區間之諸解。

參

• construct-geometric-figure — 構造常須三角析以定角與長
• prove-geometric-theorem — 三角恆等常為幾何證中之引理
• create-skill — 包新三角之法為可用技時遵之