作幾何圖

以尺規作法加步釋之每作，從所予元生可構之幾何圖，驗其合原規。

用

• 予幾何元（點、段、角）而求作圖
• 行古典歐氏作（平分、垂、切）
• 驗圖可否以尺規作
• 生作導以教或文
• 化幾何規為有序原作序

入

• 必：目圖述（如「以 AB 為邊之等邊三角」）
• 必：所予元（起始之點、段、圓、角）
• 可：輸格（敘、編步、偽碼、SVG 座標）
• 可：釋詳（略、常、嚴含定理引）
• 可：若不可構→含不可構析否

行

一：識所予元與目圖

析題取：

1. 所予元——列諸點、段、角、圓、長。
2. 目圖——明言所當作。
3. 約束——注加條件（同、平、切、共線）。

以標式言題：

Given: Points A, B; segment AB; circle C1 centered at A with radius r.
Construct: Equilateral triangle ABC with AB as one side.
Constraints: C must lie on the same side of AB as point P (if specified).

驗諸所引元良定且一致。

得： 題淨重述，每所予元記，目圖明述。

敗： 題歧→列可能解且求明。所予元相悖（如三邊 1, 1, 5）→陳悖而止。

二：驗可構

定目圖可否只以尺規作。

1. 察代約。 長可構若僅若在有理之連平方根擴體中。須立方根或超越→不可。

2. 已知不可構：

   • 三分一般角
   • 倍立方（作 2 之立方根）
   • 化圓為方（作 sqrt(pi)）
   • n 非 2 冪與異 Fermat 質之積之正 n 邊形

3. 已知可構操作：

   • 平分角或段
   • 作垂與平
   • 移長
   • n ∈ {3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, ...} 之正 n 邊形
   • 以 +、-、*、/、sqrt 可表之長

4. 記裁決加釋。

Constructibility analysis:
- Target: equilateral triangle on segment AB
- Required operations: circle-circle intersection (two arcs of radius AB)
- Algebraic degree: 2 (quadratic extension)
- Verdict: CONSTRUCTIBLE

得： 可構與否之明裁，附簡釋引相關代或古典果。

敗： 可構不確→試化題為已知可構原。已證不可→記不可證且建近似可構或他法（如 neusis、摺紙）。

三：謀作序

分目圖為原作操作序。

1. 識所需原。 諸尺規作化為此原子操作：

   • 經兩點作線
   • 作圓（中+圓周點）
   • 標兩線之交
   • 標線圓之交
   • 標兩圓之交

2. 序之。 每操作只引已在之點（予或先作）。建依賴圖：

Step 1: Draw circle C1 centered at A through B.       [uses: A, B]
Step 2: Draw circle C2 centered at B through A.       [uses: A, B]
Step 3: Mark intersections of C1 and C2 as P, Q.      [uses: C1, C2]
Step 4: Draw line through P and Q.                     [uses: P, Q]

3. 減步。 尋合併或重用先作元之機。

4. 每步注其幾何旨（如「此作 AB 之垂平分線」）。

得： 原操作有序列，每步依賴先立元，覆目圖諸部。

敗： 分解止→識目圖何部自現作點不可達。返步二確可構，或引輔作（助圓、中點、反射）橋溝。

四：行作步附釋

寫每作步全附歐氏釋。

每原操作記：

1. 操作：所作所標。
2. 入：所用現元。
3. 釋：何歐氏命題、定理、性質保其果。
4. 出：所建新元。

格一致：

Step 3: Mark intersections of C1 and C2 as P and Q.
  - Operation: Circle-circle intersection
  - Inputs: C1 (center A, radius AB), C2 (center B, radius BA)
  - Justification: Two circles with equal radii whose centers are separated
    by less than the sum of their radii intersect in exactly two points,
    symmetric about the line of centers (Euclid I.1).
  - Output: Points P and Q, where AP = BP = AB (equilateral property).

續至目圖全作。複圖→聚相關步為階（如「階一：作輔垂平分線」、「階二：定內心」）。

得： 依序行則生目圖之全有釋作步序。每新點、線、圓皆記。

敗： 步釋不能→步或無效。獨驗幾何宣。常誤：設兩圓交而實不（察中距與半徑和/差）、或設點在線而無證。

五：驗作合規

確所作圖合諸原求。

1. 察原約 於所作圖：

   • 同：驗等長或等角
   • 平/垂：確以作法（如垂平分線保 90°）
   • 入：驗所需點在所需線或圓

2. 數自由度。 所作圖當有規所隱之數參。多→規欠定。零而敗→規過定或悖。

3. 以具座標測（選，複作宜）：

Verification with coordinates:
Let A = (0, 0), B = (1, 0).
C1: x^2 + y^2 = 1
C2: (x-1)^2 + y^2 = 1
Intersection: x = 1/2, y = sqrt(3)/2
Triangle ABC: sides AB = BC = CA = 1. VERIFIED.

4. 記驗果明過/敗於每約。

得： 原規諸約皆驗，作確。座標測（若行）合幾何論。

敗： 約敗→溯作尋誤步。常因：交擇誤（圓線交分支誤）、座標驗號誤、或缺輔作。

驗

• 題以標 Given/Construct/Constraints 式重述
• 可構析存含明裁與釋
• 每作步只用先立元
• 每步含操作、入、釋、出
• 釋引相幾何原（Euclid、定理名、性質）
• 目圖全作（無缺部）
• 原諸約對完作皆驗
• 無步依量、近似、不可構操作
• 步數合圖複

忌

• 設交存：兩圓交僅中距在 |r1 - r2| 與 r1 + r2 間。標交前必驗。忘察→紙上行而幾何敗。

• 交分支誤：圓圓、線圓交皆二點。作須指用何（如「AB 同側於點 P 之交」）。交擇歧→生二有效而異圖。

• 混作與量：尺規作不容量長或角。勿「量 AB 再標同長」。用圓規移徑：以新點為中，經舊端作圓。

• 略可構察：試三分一般角或作正七邊形費力。先驗可構。

• 序過繁：多作有簡解。標圖作逾 15 步→尋簡法。古典源（Euclid、Hartshorne）常供最簡作。

• 隱輔元：忘記助作（如「延 AB 至 D」）→序不可循。每所用元皆須明作。

參

• solve-trigonometric-problem - 三角析常啟或驗作
• prove-geometric-theorem - 作常為幾何證步
• create-skill - 封新作為可重用技時依