馬氏四方程

列馬氏四方程（積或微形）、應邊界與對稱、解 PDE、算 Poynting 及波阻、驗極限。

用

• 邊值問題求 E、B 於有源、有界面之域
• 由本原推電磁波方程
• 算能流（Poynting）、動量密度
• 應介面邊界條件（介質、導體、磁料）
• 析位移流於 Ampere-Maxwell 之作用
• 連靜極（Coulomb、Biot-Savart）於統一時變架構

入

• 必：物理配置（幾何、電荷流源、料性）
• 必：所求量（E、B、波解、能流、界面值）
• 可：對稱（平面、柱、球、無）
• 可：時變（靜、頻 omega、一般）
• 可：界面或導體表邊界條件

行

一：列四方程、擇相關

全寫，擇所約束者：

1. Gauss E 律：div(E) = rho / epsilon_0（微）或 closed_surface_integral(E . dA) = Q_enc / epsilon_0（積）。E 散連電荷密度。有對稱之電荷分佈取 E 用。

2. Gauss B 律：div(B) = 0（微）或 closed_surface_integral(B . dA) = 0（積）。無磁單極。B 線皆閉環。驗 B 用。

3. Faraday 律：curl(E) = -dB/dt（微）或 contour_integral(E . dl) = -d(Phi_B)/dt（積）。B 變生 E 旋。感應與推波用。

4. Ampere-Maxwell 律：curl(B) = mu_0 J + mu_0 epsilon_0 dE/dt（微）或 contour_integral(B . dl) = mu_0 I_enc + mu_0 epsilon_0 d(Phi_E)/dt（積）。流與 E 變生 B 旋。位移流 mu_0 epsilon_0 dE/dt 為波傳與流連續所必需。

5. 擇形：局部、波、PDE 取微形。高對稱取積形。

6. 辨活方程：非皆獨立。靜電（dB/dt = 0, J = 0）只 Gauss E 與 curl(E) = 0 有效。靜磁則 Gauss B 與 Ampere（無位移流）足。

## Maxwell Equations for This Problem
- **Form**: [differential / integral / both]
- **Active equations**: [list which of the four are non-trivial constraints]
- **Source terms**: rho = [charge density], J = [current density]
- **Time dependence**: [static / harmonic / general]
- **Displacement current**: [negligible / essential -- with justification]

得：四方程已列，相關子集已辨並明由，位移流或留或明證可略。

敗：位移流取捨未明→估 |epsilon_0 dE/dt| / |J| 之比。近 1 或過→必留。真空無電荷則恆須。

二：應邊界與對稱

用界面與幾何對稱減系：

1. 介面邊界條件：介質 1/2 之介，面電荷 sigma_f、面流 K_f：

   • 法 E：epsilon_1 E_1n - epsilon_2 E_2n = sigma_f
   • 切 E：E_1t = E_2t（連續）
   • 法 B：B_1n = B_2n（連續）
   • 切 H：n_hat x (H_1 - H_2) = K_f（n_hat 由 2 指 1）

2. 導體邊界：完美導體面：

   • E_tangential = 0（內 E = 0）
   • B_normal = 0（時變內 B = 0）
   • 面電荷：sigma = epsilon_0 E_normal
   • 面流：K = (1/mu_0) n_hat x B

3. 對稱減：用所辨對稱減獨立變數：

   • 平面：場僅依一坐標（如 z），PDE→ODE
   • 柱：場依 (rho, z) 或僅 rho
   • 球：場僅依 r
   • 平移不變：沿不變向 Fourier 變換

4. 規範擇（用勢時）：選 phi 與 A 之規範：

   • Coulomb：div(A) = 0（分靜電與輻射）
   • Lorenz：div(A) + mu_0 epsilon_0 d(phi)/dt = 0（顯 Lorentz 協變，解耦波方程）

## Boundary Conditions and Symmetry
- **Interfaces**: [list with media properties on each side]
- **Boundary conditions applied**: [normal E, tangential E, normal B, tangential H]
- **Symmetry**: [planar / cylindrical / spherical / none]
- **Reduced coordinates**: [independent variables after symmetry reduction]
- **Gauge** (if using potentials): [Coulomb / Lorenz / other]

得：諸界面邊界皆列，對稱已用以減維，問題備解 PDE。

敗：邊界過定（方程多於未知）→查場分量與條件數是否合。不足→漏條件，常為切 H 或無窮遠輻射條件。

三：解 PDE

解馬氏方程或其衍形求場量：

1. 推波方程：無源線性均勻介：

   • 取 Faraday 旋：curl(curl(E)) = -d/dt(curl(B))
   • 代 Ampere-Maxwell：curl(curl(E)) = -mu epsilon d^2E/dt^2
   • 用向量恆等：curl(curl(E)) = grad(div(E)) - nabla^2(E)
   • div(E) = 0（無自由電荷）：nabla^2(E) = mu epsilon d^2E/dt^2
   • 波速：v = 1/sqrt(mu epsilon)；真空 c = 1/sqrt(mu_0 epsilon_0)
   • B 同式

2. 平面波解：沿 z 向：

   • E(z, t) = E_0 exp[i(kz - omega t)]，k = omega/v = omega * sqrt(mu epsilon)
   • B = (1/v) k_hat x E（垂直於 E 與傳向）
   • |B| = |E|/v
   • 偏振：依 E_0 分量為線、圓、橢

3. Laplace 與 Poisson（靜）：

   • 無時變：nabla^2(phi) = -rho/epsilon_0（Poisson）或 nabla^2(phi) = 0（Laplace）
   • 於合適坐標系分離變量
   • 匹邊界以定係數

4. 導波與諧腔：

   • 分 TE（橫電）與 TM（橫磁）模
   • 應導壁邊界
   • 解本徵問題求傳播常數或諧頻
   • 截止頻：omega_c = v * pi * sqrt((m/a)^2 + (n/b)^2)（矩形 a x b 導）

5. 導體趨膚深：時變場入導體（導率 sigma_c）：

   • delta = sqrt(2 / (omega mu sigma_c))
   • 場於導體內 exp(-z/delta) 衰
   • 銅 60 Hz：delta 約 8.5 mm；1 GHz：delta 約 2 微米

## Field Solution
- **Equation solved**: [wave equation / Laplace / Poisson / eigenvalue]
- **Solution method**: [separation of variables / Fourier transform / Green's function / numerical]
- **Result**: E(r, t) = [expression], B(r, t) = [expression]
- **Dispersion relation**: omega(k) = [if wave solution]
- **Characteristic scales**: [wavelength, skin depth, decay length]

得：場表式顯，滿足馬氏與諸邊界，色散或本徵譜並具。

敗：選坐標系不可分→易系或取數值（有限差、有限元）。回代不符某方程→代數誤→重驗旋散運算。

四：算衍量

由場解取物理意量：

1. Poynting 向量：S = (1/mu_0) E x B（瞬能流，W/m^2）：

   • 平面波：S = (1/mu_0) |E|^2 / v 於傳向
   • 時均：<S> = (1/2) Re(E x H*)（諧）
   • 強度：I = |<S>|

2. 電磁能密：

   • u = (1/2)(epsilon_0 |E|^2 + |B|^2/mu_0)（真空）
   • u = (1/2)(E . D + B . H)（線性介）
   • 能守：du/dt + div(S) = -J . E（Poynting 定理）

3. 輻射壓：平面波射面：

   • 全吸：P_rad = I/c = <S>/c
   • 全反：P_rad = 2I/c = 2<S>/c
   • 乃電磁場動量流密

4. 波阻：

   • 介中：eta = sqrt(mu/epsilon) = mu * v
   • 真空：eta_0 = sqrt(mu_0/epsilon_0) 約 377 Ohms
   • E/H 幅：|E| = eta |H|
   • 法入反射係：r = (eta_2 - eta_1)/(eta_2 + eta_1)

5. 耗散與品質因子：

   • 導體歐姆損：p_loss = sigma |E|^2 / 2
   • 腔 Q：Q = omega * 儲能 / 每週期耗能
   • 聯諧帶寬：Delta_omega = omega / Q

## Derived Quantities
- **Poynting vector**: S = [expression], <S> = [time-averaged]
- **Energy density**: u = [expression]
- **Radiation pressure**: P_rad = [value]
- **Wave impedance**: eta = [value]
- **Reflection/transmission**: r = [value], t = [value]
- **Q-factor** (if resonant): Q = [value]

得：諸量算畢，單位確，經 Poynting 定理驗能守，量級合理。

敗：Poynting 定理不均（du/dt + div(S) ≠ -J . E）→E、B 解互不一致。重驗二場同時滿四方程。常為 E、B 取不相容之近似。

五：驗極限

察全解於極限是否正確回落：

1. 靜極（omega → 0）：應回靜電或靜磁：

   • E 應滿 Coulomb 或 Laplace/Poisson
   • B 應滿 Biot-Savart 或 Ampere（無位移流）
   • 位移流滅：mu_0 epsilon_0 dE/dt → 0

2. 平面波極：無界無源介，應為平面波，v = 1/sqrt(mu epsilon)，偏振正確。

3. 完美導體極（sigma → ∞）：

   • 趨膚 delta → 0
   • 切 E → 0 於表
   • 反射係 r → -1（完全反射並相位反轉）

4. 真空極（epsilon_r = 1, mu_r = 1）：料依量應回真空值。波速應為 c。阻應為 eta_0 約 377 Ohms。

5. 能守驗：Poynting 定理積於閉域。全場能率變加面外流功率應等於域內電流負功率。失衡乃誤。

## Limiting Case Verification
| Limit | Condition | Expected | Obtained | Match |
|-------|-----------|----------|----------|-------|
| Static | omega -> 0 | Coulomb / Biot-Savart | [result] | [Yes/No] |
| Plane wave | unbounded medium | v = c/n, eta = eta_0/n | [result] | [Yes/No] |
| Perfect conductor | sigma -> inf | delta -> 0, r -> -1 | [result] | [Yes/No] |
| Vacuum | epsilon_r = mu_r = 1 | c, eta_0 | [result] | [Yes/No] |
| Energy conservation | Poynting's theorem | balanced | [check] | [Yes/No] |

得：諸極限皆返已知正確結果。能守達數值精度。

敗：極限敗乃誤之確證。靜極敗→源或邊界之問題。平面波極敗→波方程推導之誤。能守敗→E、B 解不一致。溯回指定步修正，方可接受解。

驗

• 四方程皆列，相關子集已辨
• 位移流或留或明證可略
• 諸介面皆應邊界條件
• 對稱已用以減 PDE 維
• 波方程（或 Laplace/Poisson）正確推導
• 場解回代滿四方程
• Poynting 向量與能密算畢，單位確（W/m^2 與 J/m^3）
• Poynting 定理（能守）已驗
• 波阻與反射/透射係合理
• 靜極回 Coulomb 與 Biot-Savart
• 平面波極得 v = 1/sqrt(mu epsilon)，E、B、k 正交
• 解足供他研究者復

忌

• 略位移流：原 Ampere（curl B = mu_0 J）取散得 div(J) = 0，與時變 rho 矛盾。位移流 mu_0 epsilon_0 dE/dt 補之，為波傳所必需。非驗 dE/dt 比 J/epsilon_0 可略，不可去。
• E、B 解不一致：獨立解 E（Gauss E）與 B（Ampere）而不驗 Faraday 與 Gauss B→場互不一致。必驗全四方程。
• 邊界法向誤：n_hat x (H_1 - H_2) = K_f 之 n_hat 必由介 2 指介 1。反則面流條件變號。
• 介中 D、E、B、H 混：真空 D = epsilon_0 E、B = mu_0 H。線性介 D = epsilon E、B = mu H。馬氏介形用 D、H 表自由源，用 E、B 表力律。混構成關係致 epsilon_r 或 mu_r 倍誤。
• 相速與群速：v = omega/k 乃相速。能與信息以群速 v_g = d(omega)/dk 傳。色散介中二者異，用相速算能傳乃誤。
• 略輻射條件：散射與輻射於無界域，解必滿 Sommerfeld 輻射條件（無窮遠外行波）。否則解非唯一，或含非物理入射波。

參

• analyze-magnetic-field
• solve-electromagnetic-induction
• formulate-quantum-problem
• derive-theoretical-result
• analyze-diffusion-dynamics