麥克斯韋方程之立

以積分或微分形式陳相關麥克斯韋方程，以邊界與對稱簡系，解所得偏微分方程得場，算坡印廷向量、輻射壓、波阻抗等派生量，末以靜極與波極驗解。

用時

• 解有源與介質界面之區內 E、B 場邊值問題
• 自第一原理推電磁波方程
• 算能流（坡印廷向量）與動量密度
• 施邊界條件於異介質（介電、導、磁）界
• 析位移電流及其補全安培-麥克斯韋方程之用
• 連靜極（庫侖、畢奧-薩伐爾）於統一時變框架

入

• 必要：物理配置（幾何、源電荷與電流、材料性）
• 必要：所求量（E 場、B 場、波解、能通、邊界場值）
• 可選：對稱訊（平、柱、球或無）
• 可選：時依（靜、頻 omega 諧、一般時變）
• 可選：界面或導體表面邊界條件

法

第一步：陳四方程，識相關子集

書全系並擇所需：

1. E 之高斯律：div(E) = rho / epsilon_0（微分）或閉面積分(E · dA) = Q_enc / epsilon_0（積分）。E 場散度關電荷密度。有對稱之電荷分佈求 E 用之。

2. B 之高斯律：div(B) = 0（微分）或閉面積分(B · dA) = 0（積分）。無磁單極。磁力線皆閉環。用於驗算 B 場之一致。

3. 法拉第律：curl(E) = -dB/dt（微分）或環路積分(E · dl) = -d(Phi_B)/dt（積分）。變 B 生旋 E。感應與波推導用。

4. 安培-麥克斯韋律：curl(B) = mu_0 J + mu_0 epsilon_0 dE/dt（微分）或環路積分(B · dl) = mu_0 I_enc + mu_0 epsilon_0 d(Phi_E)/dt（積分）。電流與變 E 生旋 B。位移電流項 mu_0 epsilon_0 dE/dt 乃波播與電流連續之要。

5. 形選：局部場算、波方程、偏微分方程用微分形式；高對稱場直接可提取者用積分形式。

6. 識生效方程：非每題四方程皆獨立。靜電（dB/dt = 0、J = 0）只需 E 之高斯律與 curl(E) = 0。靜磁只需 B 之高斯律與安培律（無位移電流）。

## Maxwell Equations for This Problem
- **Form**: [differential / integral / both]
- **Active equations**: [list which of the four are non-trivial constraints]
- **Source terms**: rho = [charge density], J = [current density]
- **Time dependence**: [static / harmonic / general]
- **Displacement current**: [negligible / essential -- with justification]

得： 四方程已陳，相關子集有理由而識，位移電流或已納或已明證可略。

敗則： 若不知位移電流是否要緊，估 |epsilon_0 dE/dt| / |J| 比。若此比近一或大，位移電流必留。真空無自由電荷者，位移電流波播必要。

第二步：施邊界條件與對稱

以界面與幾何對稱簡系：

1. 界面邊界條件：介質一、二之界，有面電荷 sigma_f 與面電流 K_f：

   • 法向 E：epsilon_1 E_1n - epsilon_2 E_2n = sigma_f
   • 切向 E：E_1t = E_2t（連續）
   • 法向 B：B_1n = B_2n（連續）
   • 切向 H：n_hat × (H_1 - H_2) = K_f（n_hat 由二指一）

2. 導體邊界條件：理想導體面：

   • E_tangential = 0（體內 E = 0）
   • B_normal = 0（時變場體內 B = 0）
   • 面電荷：sigma = epsilon_0 E_normal
   • 面電流：K = (1/mu_0) n_hat × B

3. 對稱簡化：以所識對稱減獨立變數：

   • 平對稱：場依一座標（如 z），偏微分降為常微分
   • 柱對稱：場依 (rho, z) 或只 rho
   • 球對稱：場只依 r
   • 平移不變：於不變向傅立葉變換

4. 規範擇（用勢者）：擇純勢 phi 與矢勢 A 之規範：

   • 庫侖規範：div(A) = 0（分離靜電與輻射貢獻）
   • 洛倫茲規範：div(A) + mu_0 epsilon_0 d(phi)/dt = 0（顯洛倫茲協變，波方程解耦）

## Boundary Conditions and Symmetry
- **Interfaces**: [list with media properties on each side]
- **Boundary conditions applied**: [normal E, tangential E, normal B, tangential H]
- **Symmetry**: [planar / cylindrical / spherical / none]
- **Reduced coordinates**: [independent variables after symmetry reduction]
- **Gauge** (if using potentials): [Coulomb / Lorenz / other]

得： 每界面皆陳邊界條件，對稱已用以減維，問題待解偏微分方程。

敗則： 若邊界條件過定（界面方程多於未知），察場分量數與條件數是否合。若欠定，漏一條件——常為切向 H 條件或無窮遠輻射條件。

第三步：解所得偏微分方程

解麥克斯韋方程或其派生形式求場：

1. 波方程推導：於無源、線性、均勻介質：

   • 取法拉第律之旋：curl(curl(E)) = -d/dt(curl(B))
   • 代入安培-麥克斯韋：curl(curl(E)) = -mu epsilon d^2E/dt^2
   • 用矢量恆等：curl(curl(E)) = grad(div(E)) - nabla^2(E)
   • 無自由電荷 div(E) = 0：nabla^2(E) = mu epsilon d^2E/dt^2
   • 波速：v = 1/sqrt(mu epsilon)；真空 c = 1/sqrt(mu_0 epsilon_0)
   • B 亦同

2. 平面波解：沿 z 向傳：

   • E(z, t) = E_0 exp[i(kz - omega t)]，k = omega/v = omega · sqrt(mu epsilon)
   • B = (1/v) k_hat × E（垂直於 E 與傳播向）
   • |B| = |E|/v
   • 偏振：依 E_0 分量為線、圓、橢圓

3. 拉普拉斯與泊松方程（靜）：

   • 無時依：nabla^2(phi) = -rho/epsilon_0（泊松）或 nabla^2(phi) = 0（拉普拉斯）
   • 於合適座標系分離變數
   • 配邊界條件定展開係數

4. 導波與腔：波導與共振腔：

   • 分 TE（橫電）、TM（橫磁）模
   • 施導壁邊界條件
   • 解特徵值問題得允許傳播常數或共振頻率
   • 截止頻率：omega_c = v · pi · sqrt((m/a)^2 + (n/b)^2)，矩形導 a × b

5. 導體趨膚深度：時變場入電導率 sigma_c 之導體：

   • delta = sqrt(2 / (omega mu sigma_c))
   • 場依 exp(-z/delta) 衰減
   • 銅中 60 Hz：delta 約 8.5 mm；1 GHz：delta 約 2 微米

## Field Solution
- **Equation solved**: [wave equation / Laplace / Poisson / eigenvalue]
- **Solution method**: [separation of variables / Fourier transform / Green's function / numerical]
- **Result**: E(r, t) = [expression], B(r, t) = [expression]
- **Dispersion relation**: omega(k) = [if wave solution]
- **Characteristic scales**: [wavelength, skin depth, decay length]

得： 顯式場表達滿足麥克斯韋方程與所有邊界條件，若為波解有色散關係或特徵值譜。

敗則： 若偏微分方程於所擇座標系不可分離，換系或用數值法（有限差、有限元）。若代回有一方程不滿足，推導有代數誤——察旋與散運算。

第四步：算派生量

自場解抽物理有意義之量：

1. 坡印廷向量：S = (1/mu_0) E × B（瞬時能通，W/m^2）：

   • 平面波：S = (1/mu_0) |E|^2 / v 沿傳播向
   • 時均：<S> = (1/2) Re(E × H*) 諧場
   • 強度：I = |<S>|（單位面積功率）

2. 電磁能密度：

   • 真空：u = (1/2)(epsilon_0 |E|^2 + |B|^2/mu_0)
   • 線性介質：u = (1/2)(E · D + B · H)
   • 能守恆：du/dt + div(S) = -J · E（坡印廷定理）

3. 輻射壓：平面波入面：

   • 全吸收：P_rad = I/c = <S>/c
   • 全反射：P_rad = 2I/c = 2<S>/c
   • 此乃場之動量通密度

4. 波阻抗：

   • 介質中：eta = sqrt(mu/epsilon) = mu · v
   • 真空：eta_0 = sqrt(mu_0/epsilon_0) 約 377 歐
   • 關 E 與 H 幅：|E| = eta |H|
   • 正入射反射係數：r = (eta_2 - eta_1)/(eta_2 + eta_1)

5. 功率耗與品質因子：

   • 歐姆耗單位體積：p_loss = sigma |E|^2 / 2（導體中）
   • 腔之品質因子：Q = omega · (儲能) / (每週期耗能)
   • 關共振帶寬：Delta_omega = omega / Q

## Derived Quantities
- **Poynting vector**: S = [expression], <S> = [time-averaged]
- **Energy density**: u = [expression]
- **Radiation pressure**: P_rad = [value]
- **Wave impedance**: eta = [value]
- **Reflection/transmission**: r = [value], t = [value]
- **Q-factor** (if resonant): Q = [value]

得： 派生量皆算單位正，以坡印廷定理驗能守恆，幅度物理合理。

敗則： 若坡印廷定理不平（du/dt + div(S) 不等 -J · E），E 與 B 解不一致。驗兩場同時滿足四方程。常誤：由不同近似算 E 與 B，彼此不一致。

第五步：驗已知極限

察全解於極限情況正確：

1. 靜極（omega -> 0）：解應降為靜電或靜磁結果：

   • E 場應滿足庫侖律或拉普拉斯/泊松方程
   • B 場應滿足畢奧-薩伐爾律或安培律（無位移電流）
   • 位移電流消：mu_0 epsilon_0 dE/dt -> 0

2. 平面波極：無源無界介質，解應降為 v = 1/sqrt(mu epsilon) 之平面波與正確偏振。

3. 理想導體極（sigma -> inf）：

   • 趨膚深度 delta -> 0（場不入）
   • 表面切向 E -> 0
   • 反射係數 r -> -1（相位倒全反射）

4. 真空極（epsilon_r = 1、mu_r = 1）：材料相關量應降為真空值。波速應等 c。阻抗應等 eta_0 約 377 歐。

5. 能守恆驗：坡印廷定理於閉體積積。全場能變率加過表面流出功率應等體內電流所給負功率。任不平示誤。

## Limiting Case Verification
| Limit | Condition | Expected | Obtained | Match |
|-------|-----------|----------|----------|-------|
| Static | omega -> 0 | Coulomb / Biot-Savart | [result] | [Yes/No] |
| Plane wave | unbounded medium | v = c/n, eta = eta_0/n | [result] | [Yes/No] |
| Perfect conductor | sigma -> inf | delta -> 0, r -> -1 | [result] | [Yes/No] |
| Vacuum | epsilon_r = mu_r = 1 | c, eta_0 | [result] | [Yes/No] |
| Energy conservation | Poynting's theorem | balanced | [check] | [Yes/No] |

得： 所有極限皆得正確已知結果。能守恆至數值精度內滿足。

敗則： 極限失乃誤之確證。靜極失示源項或邊界條件問題。平面波極失示波方程推導誤。能守恆失示 E 與 B 解不一致。溯誤至具體步驟改正後方納解。

驗

• 四方程皆陳，相關子集已識
• 位移電流已納或明證可略
• 每界面皆施邊界條件
• 對稱已用減維
• 波方程（或拉普拉斯/泊松）推導正確
• 場解代回滿足四方程
• 坡印廷向量與能密度算單位正（W/m^2、J/m^3）
• 坡印廷定理（能守恆）已驗
• 波阻抗與反射/透射係數物理合理
• 靜極重現庫侖與畢奧-薩伐爾律
• 平面波極得 v = 1/sqrt(mu epsilon) 與正交 E、B、k
• 解足以使他研究者重現

陷

• 略位移電流：原安培律（curl B = mu_0 J）取散得 div(J) = 0，與時變 rho 之電荷守恆矛盾。位移電流項 mu_0 epsilon_0 dE/dt 補之，波播必要。非驗 dE/dt 相對 J/epsilon_0 可略，勿棄
• E、B 解不一致：獨立解 E 與 B（如由高斯律得 E、由安培律得 B）而不驗法拉第律與 B 之高斯律，或生不相容場。必驗四方程
• 邊界條件法向誤：n_hat × (H_1 - H_2) = K_f 之 n_hat 必由介質二指一。反向則面電流條件反號
• 材料中 D、E、B、H 混：真空 D = epsilon_0 E、B = mu_0 H。線性介質 D = epsilon E、B = mu H。材料中麥克斯韋方程自由源項用 D 與 H，力律用 E 與 B。混構成方程致 epsilon_r 或 mu_r 因子誤
• 相速與群速：v = omega/k 乃相速。能與訊以群速 v_g = d(omega)/dk 傳。色散介質二者異，以相速論能傳致誤
• 忘輻射條件：無界散射與輻射問題，解須滿足索末菲輻射條件（無窮遠外行波）。無此條件解不唯一，或含非物理入波

參

• analyze-magnetic-field — 算靜 B 場，為麥克斯韋方程之靜磁極
• solve-electromagnetic-induction — 施法拉第律於具體感應幾何與 RL 電路
• formulate-quantum-problem — 量子化電磁場於量子光學與 QED
• derive-theoretical-result — 嚴推波方程、格林函數、色散關係
• analyze-diffusion-dynamics — 擴散方程於導體介質源自麥克斯韋方程（趨膚效應）