Derive Theoretical Result

自既定公理、第一原理或已立之定理起，產生嚴謹、逐步之理論結果推導。每一代數或邏輯步皆明載其理，極限情況皆驗，終果以完整之符號詞彙呈。

適用時機

• 自第一原理推導公式、關係或定理（例如自作用原理推導歐拉-拉格朗日方程）
• 自公理以邏輯演繹證明數學命題
• 重推教科書結果以驗之或適應其於修改之情境
• 將既知結果推廣至更一般之設定（例如自平直時空推廣至彎曲時空）
• 為論文、學位論文或技術報告產生自足之推導

輸入

• 必需：待推之目標結果（方程、不等式、定理命題或關係）
• 必需：起點（公理、假設、先前立之結果或 Lagrangian/Hamiltonian）
• 可選：偏好之證明技巧（直接、反證、歸納、變分、構造）
• 可選：待遵之符號慣例（若需合特定教科書或合作者之慣例）
• 可選：可引用而不再推導之已知中間結果

步驟

步驟一：載明起始假設與目標結果

於任何計算前顯式書寫推導之契約：

1. 公理與假設：列推導所賴之每一假設。物理中此含對稱群、作用原理或量子力學之假設。數學中此含公理系統與任何前已證之引理。
2. 目標結果：以精確數學符號載待推之結果。若為方程，寫兩邊。若為不等式，載方向與相等條件。
3. 範圍與限制：載有效域（如「適於三維中非相對論、無自旋粒子」）。識推導不涵之內容。
4. 符號宣告：定將現之每一符號。此避歧義並使推導自足。

## Derivation Contract
- **Starting from**: [axioms, postulates, or established results]
- **Target**: [precise mathematical statement]
- **Domain of validity**: [restrictions and assumptions]
- **Notation**:
  - [symbol]: [meaning and units]
  - ...

預期： 對「由何推何」之完整、無歧義之陳述，所有符號前先定義。

失敗時： 若目標結果有歧義或起始假設不全，繼續前先明之。藏有假設之推導不可靠。

步驟二：識所需之數學機制

審所需之工具並驗其適用性：

1. 代數技巧：識所需之操作（張量代數、對易子代數、矩陣運算、級數展開）。驗所涉結構滿足先決條件（如級數收斂條件、矩陣運算之可逆性）。
2. 微積分與分析：識推導是否需常或偏微分、積分（及於何域）、泛函導數、圍道積分或分布理論。驗正則性條件（可微性、可積性、解析性）。
3. 對稱與群論：識所需之表示理論工具（不可約表示、Clebsch-Gordan 係數、特徵標正交性、Wigner-Eckart 定理）。
4. 拓撲與幾何（若適用）：識幾何結構（流形、纖維叢、聯絡）與拓撲約束（邊界項、繞數、指標定理）。
5. 已知恆等式與引理：集待引用之具體恆等式（如 Jacobi 恆等式、Bianchi 恆等式、分部積分、Stokes 定理）。顯式載每一，使推導可按名引之。

## Mathematical Toolkit
- **Algebra**: [techniques and prerequisites]
- **Analysis**: [calculus tools and regularity conditions]
- **Symmetry**: [group theory tools]
- **Identities to invoke**: [list with precise statements]

預期： 數學工具之檢核表，其適用性條件於當前問題已驗。

失敗時： 若所需之工具有未驗之先決條件（如一致收斂未知之級數逐項微分），標之為缺口。或證該先決條件，或載之為額外假設。

步驟三：執行推導並逐步載理

執行推導，每步標記並載理：

1. 每步一操作：每編號之步僅行一代數或邏輯操作。勿併多操作入一步。
2. 理據標籤：標每步以其理據。常見標籤：
   • [by assumption] —— 引已載之公理或假設
   • [by definition] —— 用先前宣告之定義
   • [by {identity name}] —— 應用具名恆等式（如「by Jacobi identity」）
   • [by Step N] —— 引此推導中之前一步
   • [by {theorem name}] —— 引外部定理（於步驟二載之）
3. 中間檢核點：每 5-10 步後停而驗：
   • 兩邊之單位/維度一致
   • 已知對稱性得保
   • 該表式有正確之變換性質
4. 分支點：若推導分支（如對簡併與非簡併特徵值之分情況分析），將每分支視為標記之子推導並合其結果。

## Derivation

**Step 1.** [Starting expression]
*Justification*: [by assumption / definition]

**Step 2.** [Result of operation on Step 1]
*Justification*: [specific reason]

...

**Checkpoint (after Step N).** Verify:
- Dimensions: [check]
- Symmetry: [check]

...

**Step M.** [Final expression = Target result]
*Justification*: [final operation]  QED

預期： 自起點至目標結果之線性步序，邏輯無缺。每步皆可獨立驗。

失敗時： 若某步不繼前一，推導有缺口。或插缺失之中間步，或識所需之額外假設。勿以「可證之」跳步，除非所省之結果為步驟二所列之眾所周知恆等式。

步驟四：檢極限情況與特殊值

對所推之果驗之於已知物理或數學：

1. 極限情況：至少識三極限情況，其中結果應化約為已知者：

   • 更簡、先前推之公式（如相對論結果之非相對論極限）
   • 平凡情況（如設耦合常數為零）
   • 極端參數區域（如高溫或低溫極限）

2. 特殊值：代入答案可獨立得知之參數之特定值（如氫原子之 n=1、三維結果之 d=3）。

3. 對稱性檢：驗結果於對稱群下正確變換。若結果應為標量，查其不變。若應為向量，查其變換律。

4. 與相關結果之一致性：查所推結果與同理論中他已知結果之一致（如 Ward 恆等式、求和規則、互易關係）。

## Limiting Case Verification
| Case | Condition | Expected Result | Derived Result | Match |
|------|-----------|----------------|----------------|-------|
| [name] | [parameter limit] | [known result] | [substitution] | [Yes/No] |
| ... | ... | ... | ... | ... |

預期： 所有極限情況與特殊值生預期結果。推導內部一致。

失敗時： 極限情況之敗示推導有誤。逐步追溯，查何步先生失該極限之表式。常因：符號錯、缺 2 或 π 之因子、組合係數錯、或極限順序要緊之步。

步驟五：以符號詞彙呈完整推導

組裝終之、精修之推導：

1. 敘事結構：寫簡介之段，載物理或數學動機、方法與主要結果。
2. 推導主體：呈步驟三之步，為可讀性潔之。將相關步組為邏輯塊，具描述之標題（如「將作用展開至二階」、「應用穩相條件」）。
3. 結果框：於醒目塊中載終果，與推導明離。
4. 符號詞彙：編推導中用之每一符號，具其意、單位（若為物理）、首現位置。
5. 假設總覽：於一處列所有假設，區基本假設與技術假設（如光滑性、收斂性）。

## Final Result

> **Theorem/Result**: [precise statement with equation number]

## Notation Glossary
| Symbol | Meaning | Units | First appears |
|--------|---------|-------|---------------|
| [sym] | [meaning] | [units or dimensionless] | [Step N] |
| ... | ... | ... | ... |

## Assumptions
1. [Fundamental postulate 1]
2. [Technical assumption 1]
3. ...

預期： 自足之文件，讀者自始至終可循之而不須參外，除顯式引之恆等式與定理。

失敗時： 若推導長於單一文件（逾 ~50 步），分為引理。分別推導每引理，後以引引理組主結果。

驗證

• 所有起始假設於第一計算步前顯式載之
• 每一推導步皆有標記之理據（無無理之跳躍）
• 單位與維度於每一中間檢核點皆一致
• 至少三極限情況得檢且生預期結果
• 特殊值合獨立已知之答案
• 結果於所述對稱群下正確變換
• 符號詞彙定推導中用之每一符號
• 推導完整：無以「可證之」延之步驟
• 有效域於終果處顯式載之

常見陷阱

• 隱藏假設：設函數解析、級數收斂、積分存而不載之。每一正則性條件皆為假設，須宣之。
• 符號錯：最常見之機械錯。於每步以代入驗符號。以維度分析交叉檢（符號錯常生維度不一之表式）。
• 漏邊界項：分部積分或應用 Stokes 定理時，邊界項僅於特定條件下消。載其消之理（如「因場於無窮遠衰於 1/r 之上」）。
• 極限順序：以錯誤順序取極限可生不同結果（如於零溫極限前取熱力學極限）。顯式載順序並理之。
• 循環推理：以待推之結果為中間步。此於結果為「顯而易見」之眾所周知公式時尤微妙。每步皆須繼所載之起點，而非繼對答案之熟悉。
• 符號衝突：同符表不同量（如 'E' 表能量與電場）。符號詞彙防之，然僅於推導前而非後書寫時。

相關技能

• formulate-quantum-problem —— 自其推導結果前形構量子力學框架
• survey-theoretical-literature —— 尋同或相關結果之前推導以資比較